Astronomia

Encontrar o ângulo entre uma determinada posição do céu e o pólo da eclíptica

Encontrar o ângulo entre uma determinada posição do céu e o pólo da eclíptica


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Dada uma ascensão reta em graus e declinação em graus (digamos, 88 graus RA, -63 graus DEC), quero encontrar o ângulo entre esse local e o pólo da eclíptica (90 graus RA, -66 graus DEC ... esses são os valores corretos ? Quais são os decimais após o 66? A maioria dos meus valores com os quais estou trabalhando são semelhantes ao que eu forneço, então a qual pólo da eclíptica, se houver, isso corresponde?) Como eu encontraria esse ângulo, eu preciso uma fórmula conveniente (como um produto escalar para encontrar este ângulo). Obrigada!


O ângulo entre um pólo da eclíptica e outra posição do céu é complementar à latitude da eclíptica dessa posição. Para encontrar as coordenadas eclípticas (λ, β), um método é converter a forma equatorial (α, δ) para a forma cartesiana: $$ begin {align} x_ mathrm {equ} & = cos alpha cos delta y_ mathrm {equ} & = sin alpha cos delta z_ mathrm {equ} & = sin delta end {align} $$ em seguida, gire por ε = 23,44 ° no eixo x: $$ begin {align} x_ mathrm {ecl} & = x_ mathrm {equ} y_ mathrm {ecl} & = y_ mathrm {equ} cos varejpsilon + z_ mathrm {equ} sin varejpsilon z_ mathrm {ecl} & = z_ mathrm {equ} cos varejpsilon - y_ mathrm {equ} sin varejpsilon end {align} $$ e converter para a forma esférica: $$ begin {align} lambda & = mathtt {atan2} (y_ mathrm {ecl}, x_ mathrm {ecl}) beta & = arcsin z_ mathrm {ecl} end {align} $$

Se você não está interessado na longitude da eclíptica λ, você pode expressar a latitude da eclíptica como $$ beta = arcsin ( sin delta cos varejpsilon - sin alpha cos delta sin varejpsilon) $$ Então, o ângulo do pólo eclíptico norte (α = 18h0m, δ = + 66,56 °) é 90 ° - β.

Trabalhando seu exemplo (α = 5h52m, δ = -63 °), eu obtenho (λ = 75,63 °, β = -86,34 °) e o ângulo do pólo eclíptico sul (α = 6h0m, δ = -66,56 °) é β + 90 ° = 3,66 °.


2.1: O Céu Acima

  • Contribuição de Andrew Fraknoi, David Morrison e Wolff et al.
  • Fonte do OpenStax

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Defina as principais características da esfera celeste
  • Explique o sistema que os astrônomos usam para descrever o céu
  • Descreva como os movimentos das estrelas aparecem para nós na Terra
  • Descreva como os movimentos do Sol, da Lua e dos planetas aparecem para nós na Terra
  • Entenda o significado moderno do termo constelação

Nossos sentidos nos sugerem que a Terra é o centro do universo - o centro em torno do qual os céus giram. Esta geocêntrico A visão (centrada na Terra) era o que quase todos acreditavam até o Renascimento europeu. Afinal, é simples, lógico e aparentemente evidente. Além disso, a perspectiva geocêntrica reforçou os sistemas filosóficos e religiosos que ensinavam o papel único dos seres humanos como o foco central do cosmos. No entanto, a visão geocêntrica está errada. Um dos grandes temas de nossa história intelectual é a derrubada da perspectiva geocêntrica. Vamos, portanto, dar uma olhada nas etapas pelas quais reavaliamos o lugar de nosso mundo na ordem cósmica.


3 respostas 3

Eu tentaria criar um "Sistema de Coordenadas Mundial" (WCS) para cada uma de suas imagens, este é essencialmente um mapeamento entre suas coordenadas de pixel e coordenadas do céu (ou seja, RA e Dec). Você pode usar ferramentas como a disponível em http://astrometry.net para resolver automaticamente suas imagens com base nos padrões de estrelas visíveis na imagem. Isso irá gerar um WCS para a imagem.

O solver astrometry.net (se você tiver as dependências apropriadas instaladas) pode gerar uma versão PNG de sua imagem com objetos celestes conhecidos marcados. Isso pode ser suficiente para seus propósitos, mas se não, você pode ler a imagem WCS em python usando o pacote astropy.wcs e usar isso para determinar a orientação da imagem e então marcar a imagem como quiser.

Aqui estão alguns códigos rápidos e sujos que você pode tentar adaptar ao seu propósito:

Se você deseja marcar o Pólo Celestial Norte com uma cruz ou ponto, ou colocar uma marca no ponto norte no horizonte, você está fazendo uma pergunta que é realmente uma questão sobre a lente da sua câmera: como funciona a sua lente particular, quando em a distância focal exata que você usou ao tirar a foto, mapear a extensão curva do céu na superfície plana do sensor da sua câmera?

Este é um desafio enfrentado não apenas pela astronomia, mas por qualquer pessoa que tira uma foto e depois quer usar a imagem para levantamentos ou cálculos espaciais.

Ouvi dizer que astrônomos profissionais usaram uma biblioteca chamada FITS. Minha impressão é que se você explicar à biblioteca que tipo de lente sua câmera tem e que tipo de distorção ela produz, ela pode lhe dizer a coordenada de cada pixel - o que deve permitir que você encontre o ponto do Norte celestial:


Meu céu escuro

O solstício acontece uma vez a cada 6 meses - Solstício de verão em junho e Solstício de inverno em dezembro. A meio caminho entre os dois solstícios, temos equinócios - Equinócio de primavera em março e Equinócio de outono em setembro.

A razão de termos solstícios (ou equinócios) é exatamente a mesma porque temos estações: o eixo da Terra é inclinado em relação à eclíptica (o caminho do Sol no céu). Assim, o equador celestial e a eclíptica não estão no mesmo plano, mas se cruzam em um ângulo de 23,5 graus. Conseqüentemente, haverá dois pontos na esfera celestial onde a eclíptica cruza o equador celestial e dois instantes durante o ano quando o Sol está em sua maior distância angular do equador celestial.

A interseção da eclíptica e do equador celestial é conhecida como equinócio. Como há duas interseções, haverá dois equinócios em um ano: o equinócio de primavera (Vernal) e o equinócio de outono. A primavera e o outono começam oficialmente nos instantes do equinócio primaveril e outonal, respectivamente.

Outra forma de definir equinócio é o momento em que o Sol cruza o equador celestial. Quando o Sol cruza o equador de sul para norte, é o Equinócio Vernal, quando ele cruza de norte para o sul, é o Equinócio de Outono.

Durante os equinócios, o sol está diretamente sobre o equador da Terra & # 8217s. Nessas horas, a duração do dia e da noite são quase iguais em todo o mundo (equinócio significa & # 8220 noite igual & # 8221). No equador, a altitude solar (altura do Sol) atinge seu máximo durante os equinócios (diretamente acima ou 90 graus do horizonte). Este também é o momento em que o Sol vai nascer exatamente no leste e se pôr exatamente no oeste.

O solstício, por outro lado, ocorre nos dois instantes em que o Sol está em sua maior distância angular do equador celestial. Durante o curso de um ano, o movimento aparente do Sol visto da Terra se move do sul para o norte e de volta para o sul novamente. Quando o Sol muda de direção do norte para o sul ou vice-versa, ele parece parar momentaneamente. Este momento é conhecido como solstício. Solstício é derivado da palavra latina & # 8220solstitium & # 8221 “sol” que significa Sol e “sistere” significa ficar parado.

Quando o Sol está na posição mais ao norte do equador celestial, é o solstício de verão e quando está na posição mais ao sul, é o solstício de inverno. O verão e o inverno começam oficialmente nos instantes dos solstícios de verão e inverno, respectivamente.

No hemisfério norte e sul, o Sol do meio-dia é mais alto no céu durante o solstício de verão e mais baixo no céu durante o solstício de inverno. No equador, entretanto, observaremos apenas que o Sol está mais ao norte durante o solstício de verão e mais ao sul durante o solstício de inverno. A altitude solar é a mesma durante o solstício de verão e inverno (66,5 graus do horizonte).

Astronomy Picture of the Day tem uma bela foto mostrando as diferentes posições do Sol para o hemisfério norte. Apenas tenha em mente que esta foto não reflete nossa situação no equador. No equador, o Sol da “faixa intermediária” deve estar diretamente acima (no zênite), enquanto os sóis do solstício (Sol da “faixa superior” e da “faixa inferior”) estão à mesma distância acima do horizonte.

Conforme a Terra se move ao redor do Sol, veremos que a posição do Sol no céu ao mesmo tempo todos os dias continua mudando, às vezes de norte para sul, às vezes vice-versa.

Consulte o diagrama abaixo, que é um diagrama típico que usamos para aprender sobre as estações na escola, devido à inclinação do eixo do nosso planeta em relação à sua órbita em torno do Sol, às vezes o eixo norte da nossa Terra está inclinado em direção ao Sol e às vezes o o eixo sul está inclinado em direção ao sol.

Para visualizar o movimento do Sol no céu durante o ano, vamos começar no Equinócio Vernal. Neste dia (mais precisamente, neste ponto do tempo), o Sol brilha no equador. Após este tempo, o eixo norte da Terra é inclinado cada vez mais em direção ao Sol, assim, visto da Terra, o Sol mudou sua posição em direção ao norte. Então, no solstício de verão, o Sol alcançará sua posição mais ao norte no céu.

Após o Solstício de Verão, o ciclo se inverte, à medida que a Terra continua a girar em torno do Sol, o eixo norte da Terra agora está inclinado cada vez menos em direção ao Sol. Assim, visto da Terra, a posição do Sol no céu agora será deslocada para o sul até que brilhe novamente no equador no Equinócio de Outono.

Após o Equinócio de Outono, o Sol continuará a se mover para o sul. Desta vez, o eixo sul da Terra será inclinado cada vez mais em direção ao Sol até atingir uma inclinação máxima no Solstício de Inverno. Em nosso céu, o Sol estará se movendo em direção ao sul todos os dias até atingir sua posição mais ao sul no céu no Solstício de Inverno.

Então, conforme a Terra se move em direção ao equinócio de primavera, o eixo sul de nossa Terra se inclina cada vez menos em direção ao Sol - o Sol agora se deslocará para o norte em nosso céu - até que novamente brilhe no equador no equinócio de primavera e o ciclo se repita.

Embora costumemos dizer que o Sol nasce no leste e se põe no oeste, na realidade o Sol nasce exatamente no leste e se põe exatamente no oeste apenas duas vezes por ano, isto é, durante os equinócios. Outras vezes, o Sol nascerá a nordeste e se porá a noroeste (de março a setembro), ou se porá a sudeste e se porá a sudoeste (de setembro a março do ano seguinte).

Para observar essa mudança de posição do nosso Sol no céu, tente comparar sua posição todos os dias durante o nascer ou pôr do sol com um ponto de referência, por exemplo, com um edifício ou uma árvore. Talvez você não veja nenhuma diferença em um ou dois dias, mas, em semanas, certamente notará que o Sol se moveu.

Por último, tenha em mente que os solstícios e equinócios duram apenas um instante e não um dia inteiro. No caso dos solstícios, é o instante em que o Sol "toca" sua posição mais ao norte ou sul e, em seguida, volta para trás. É o “retorno” que faz com que o Sol pareça parado momentaneamente. Para o caso dos equinócios, é o instante em que o Sol cruza o equador celestial. Dito isso, esses termos são geralmente usados ​​vagamente para se referir ao dia em que o evento ocorre.


Planisférios

Os planisférios são mapas planos (bidimensionais) da esfera celeste que podem ser usados ​​para observar quais constelações são visíveis ao mesmo tempo. Use um planisfério para ver quais constelações são circumpolares. Observe que as constelações não mudam de posição em relação umas às outras. Elas não mudaram ao longo de muitos milhares de anos. Mudanças muito pequenas ocorreram em algumas das posições das estrelas - muito pequenas - ao longo de um milhão de anos.

Você pode baixar um bom planisfério impresso gratuitamente do National Research Centre of Canada em francês ou inglês.

Eles têm um adorável animado que você pode acessar em

Em janeiro de 2016, havia um site muito bom que era interativo sobre as constelações circumpolares do norte. Você pode visitar aqui


Localizando lugares no céu

As posições no céu são medidas de uma forma muito semelhante à forma como medimos as posições na superfície da Terra. Em vez de latitude e longitude, no entanto, os astrônomos usam coordenadas chamadas declinação e ascensão certa. Para denotar posições de objetos no céu, muitas vezes é conveniente fazer uso da esfera celestial fictícia. Vimos em Observando o céu: o nascimento da astronomia que o céu parece girar em torno dos pontos acima dos pólos norte e sul da Terra - pontos no céu chamados pólo celeste norte e pólo celeste sul. No meio do caminho entre os pólos celestes, e, portanto, 90 ° de cada pólo, está o equador celestial, um grande círculo na esfera celestial que está no mesmo plano do equador da Terra. Podemos usar esses marcadores no céu para estabelecer um sistema de coordenadas celestes.

A declinação na esfera celeste é medida da mesma forma que a latitude é medida na esfera da Terra: do equador celestial em direção ao norte (positivo) ou ao sul (negativo). Então Polaris, a estrela próxima ao pólo celeste norte, tem uma declinação de quase + 90 °.

A ascensão reta (RA) é como a longitude, exceto que, em vez de Greenwich, o ponto arbitrariamente escolhido onde começamos a contagem é o equinócio vernal, um ponto no céu onde o eclíptica (o caminho do Sol) cruza o equador celestial. RA pode ser expresso em unidades de ângulo (graus) ou em unidades de tempo. Isso ocorre porque a esfera celestial parece girar em torno da Terra uma vez por dia, conforme nosso planeta gira em torno de seu eixo. Assim, os 360 ° de RA necessários para dar uma volta em torno da esfera celeste também podem ser definidos como 24 horas. Então, cada 15 ° de arco é igual a 1 hora de tempo. Por exemplo, as coordenadas celestes aproximadas da estrela brilhante Capella são RA 5h = 75 ° e declinação + 50 °.

Uma forma de visualizar esses círculos no céu é imaginar a Terra como uma esfera transparente com as coordenadas terrestres (latitude e longitude) pintadas com tinta escura. Imagine a esfera celestial ao nosso redor como uma bola gigante, pintada de branco por dentro. Em seguida, imagine-se no centro da Terra, com uma lâmpada brilhante no meio, olhando para o céu através de sua superfície transparente. Os pólos terrestres, equador e meridianos serão projetados como sombras escuras na esfera celeste, dando-nos o sistema de coordenadas no céu.


Todo mundo vê o mesmo céu à noite?

Assim como a posição da Terra no espaço, a área do céu que podemos ver à noite é determinada por nossa latitude - a que distância estamos ao norte ou ao sul do equador.

Lugares na mesma latitude têm a mesma visão do céu noturno. Portanto, embora Adelaide e a capital chilena, Santiago, estejam separadas pelo oceano Pacífico, elas veem as mesmas constelações à noite porque a Terra as está girando além do mesmo trecho do céu ao sul.

Mas as pessoas que vivem na mesma longitude podem ver céus bem diferentes.

Os residentes de Adelaide e Tóquio estão na mesma longitude e veem algumas das mesmas partes do céu - a área ao redor da eclíptica, como constelações do zodíaco e planetas.

Mas Tóquio fica muito ao norte para ver objetos próximos ao Pólo Celestial Sul, como o Cruzeiro do Sul. E os Adelaidianos não podem ver coisas no céu do extremo norte, como Polaris, a Estrela do Norte.

É porque a Terra é esférica e a protuberância em torno de seu meio bloqueia a visão dos extremos norte e sul.


SISTEMAS DE COORDENAÇÃO CELESTIAL E TEMPO

A astronomia não foi apenas a cronológica ou cronometrista da humanidade, mas também pagou seu caminho fornecendo um sistema de navegação. Navios no mar, caravanas de camelos no deserto sem trilhas e aeronaves em viagens longas encontraram seu caminho avistando objetos celestes.

Encontrar o caminho pelas estrelas, a navegação celestial, como é chamada, faz uso de dois sistemas de coordenadas. Um, o sistema de coordenadas celestes, marca as posições das estrelas no céu. O outro, o sistema de coordenadas geográficas (o conhecido sistema longitude-latitude) marca as posições dos lugares na Terra.

Se a Terra não girasse - a navegação celestial seria fácil, pois uma determinada região do céu estaria sempre sobre a mesma região da superfície da Terra. Assim, reconhecer a região do céu que está acima indicaria imediatamente a posição na Terra. No entanto, a Terra gira e diferentes regiões do céu passam sobre qualquer região específica da Terra em momentos diferentes.

Portanto, o fato de a Terra girar torna necessário incluir medidas de tempo na ligação dos sistemas de coordenadas celestes e geográficas. A necessidade foi bem compreendida pelos marinheiros em longas viagens oceânicas nos dias anteriores às comunicações de rádio. Erros de navegação podem levar ao naufrágio e à perda de vidas. Uma dessas tragédias, um desastre naval britânico que ocorreu perto das Ilhas Scilly em 1707, custou a vida de cerca de 2.000 marinheiros

Estimulado pela tragédia, Sir Isaac Newton, então membro do Parlamento Britânico, sugeriu que prêmios com um prêmio máximo de 30.000 libras (então uma fortuna considerável) fossem dados a alguém que pudesse, por qualquer método, determinar a longitude no mar em 1 grau, ou 60 milhas náuticas (111 quilômetros). Um & quotBoard of Longitude & quot foi nomeado para emitir um prêmio quando a maioria dos comissários estava convencida de que um método proposto era prático e o método provou ser preciso dentro dos limites prescritos em uma viagem oceânica da Grã-Bretanha às Índias Ocidentais.

Um inglês, John Harrison, atacou o problema de encontrar a longitude no mar construindo relógios muito precisos. Como método alternativo, um astrônomo alemão, Tobias Mayer, construiu tabelas das posições da lua várias vezes. Suas tabelas foram baseadas na análise gravitacional muito precisa do movimento da lua feita pelo grande matemático suíço Leonhard Euler.

Depois de anos de testes e disputas entre o Conselho de Longitude, astrônomos, Parlamento, o almirantado e outros marinheiros, o método de Harrison mostrou-se mais preciso, dentro de meio grau de longitude, mas o método de Mayer mostrou-se suficientemente preciso e mais prático . Na verdade, o método de Mayer foi adotado pela maioria dos capitães de navios.

Em 1765, o conselho decidiu conceder premiações parciais a Harrison e a Mayer, sendo a premiação deste último póstuma. No entanto, Harrison tinha direito ao prêmio principal e em 1773, com a intervenção do Rei George III, ele recebeu o valor restante de seu prêmio.

Tempo, navegação, sistemas de coordenadas - estes são, de fato, conceitos que foram formalizados dentro da estrutura da astronomia. Esses conceitos lidam com os aspectos mais básicos da astronomia, ou seja, com a forma da Terra e seus movimentos. Os movimentos da Terra determinam o sistema de coordenadas que usamos para localizar as estrelas no céu.

OS PRINCIPAIS MOVIMENTOS DA TERRA

Existem três movimentos principais da Terra: rotação em seu eixo, revolução em torno do sol e precessão. Além de observar sua rotação a partir de um veículo espacial, pode-se comprovar que a Terra gira por meio de um tipo especial de pêndulo, um grande peso suspenso por um longo fio de aço que, por sua vez, está preso a um pivô sem atrito. O pêndulo é, portanto, capaz de oscilar em qualquer direção. Se, como mostrado na Figura 1, tal pêndulo fosse colocado no Pólo Norte e colocado em movimento em direção a uma estrela distante, o plano de sua oscilação permaneceria fixo em relação à estrela, mas pareceria girar em relação ao solo. Na realidade, o plano de oscilação é fixo no espaço e é a Terra que gira sob ele. A mecânica newtoniana prevê uma rotação aparente semelhante, mas mais lenta, do plano de oscilação em relação ao solo quando o pêndulo é colocado longe do pólo e mais perto do equador. No equador, não há rotação aparente do plano de oscilação. Esse tipo de pêndulo é freqüentemente visto em museus de ciência e tecnologia. É uma das provas mais facilmente demonstradas de que a Terra gira e é chamada de pêndulo de Foucault em homenagem a seu inventor. A primeira prova pública de que a Terra gira e é chamada de pêndulo de Foucault em homenagem ao seu inventor. A primeira demonstração pública deste fenômeno foi dada pelo Professor J.B.L. Foucault em 1851 sob a cúpula do Panteão de Paris, usando um fio de 200 pés de comprimento com um peso de 60 libras anexado.

FIGURA 1 (esquerda) Pêndulo de Foucault no Pólo Norte. O plano da oscilação do pêndulo permanece fixo enquanto a Terra gira abaixo dele. (direita) Ilustração do experimento original de Foucault em um jornal de 1851.

A revolução da Terra em torno do Sol pode ser comprovada pela observação de paralaxe estelar ou aberração estelar. Paralaxe é a mudança angular na linha de visão de uma estrela próxima conforme ela é vista de diferentes pontos na órbita da Terra. O efeito é muito pequeno e não foi observado até 1838. Mais de 100 anos antes, James Bradley, ao tentar detectar a paralaxe, descobriu o fenômeno da aberração estelar. Ele observou que todas as estrelas mostram um movimento angular anual em torno de suas posições médias. O deslocamento máximo é de aproximadamente 20,5 segundos de arco. A aberração é aceita como prova de observação direta do movimento orbital da Terra e da velocidade finita da luz. É melhor explicado por uma analogia com a chuva caindo.

Imagine estar sob uma chuva suave em um dia sem vento. Para proteção máxima, você deve segurar seu guarda-chuva verticalmente. Mas se você começar a correr rapidamente no meio da chuva, vai querer inclinar o guarda-chuva na direção em que está correndo, porque o movimento aparente das gotas de chuva agora se torna uma combinação de seu movimento e a queda natural das gotas.

Como a velocidade da luz não é infinita, a direção aparente de onde ela vem também será influenciada pelo movimento do observador. Conforme mostrado na Figura 2, a mudança contínua na direção do movimento orbital da Terra faz com que um observador ajuste a direção do telescópio continuamente para concordar com a direção aparente da luz das estrelas. A correção precisa na direção depende da posição da estrela no céu e da direção do movimento da Terra naquele momento. O último, é claro, depende da época do ano em que a observação está sendo feita.

O terceiro dos principais movimentos da Terra, a precessão, é o que parece mais misterioso. Isso também pode ser explicado pela aplicação da mecânica newtoniana. Por causa de sua rotação rápida, a Terra é deformada em uma esfera perfeita e tem uma ligeira protuberância no equador. A deformação é muito pequena, o diâmetro equatorial da Terra tornando-se apenas um terço por cento maior do que seu diâmetro polar, mas ainda é o suficiente para causar a precessão observada. O plano do equador da Terra está inclinado em 23 & frac12 graus em relação ao plano da órbita da Terra. O sol está sempre no plano da órbita da Terra, e a lua nunca está longe desse plano. Como a atração do sol e da lua na protuberância da Terra é ligeiramente maior para o lado que está mais próximo deles do que para o lado oposto, sua atração combinada, em média, tenta puxar o plano do equador da Terra em acordo com o plano da órbita da Terra. Em outras palavras, eles agem para tentar reduzir o ângulo de 23 e 12 graus. Isso é esquematicamente ilustrado para a lua na Figura 3, onde a lua é mostrada perto do ponto em sua órbita na maior distância ao sul do plano do equador da Terra. Uma vez que a distância do sol e da lua ao plano do equador da Terra muda continuamente, as forças de rotação que elas aplicam ao bojo da Terra mudam continuamente, em uma base semestral para o sol e semestral para a lua.

FIGURA 2 Aberração estelar. Para manter um telescópio apontado para a luz das estrelas chegando perpendicularmente à órbita da Terra, o telescópio deve ser inclinado na direção do movimento da Terra em sua órbita. O ângulo de inclinação é dado na caixa acima, uma vez que a Terra se move pela distância x durante o tempo que a luz leva para percorrer o tubo do telescópio. [onde v é a velocidade da Terra em sua órbita ec é a velocidade da luz].

A aplicação da mecânica newtoniana mostra que, quando é feita uma tentativa de girar um corpo que gira rapidamente em torno de um eixo diferente de seu eixo de rotação, o corpo gira em torno de um terceiro eixo. Este terceiro eixo é sempre perpendicular ao eixo de rotação e ao eixo em torno do qual ocorre a tentativa de rotação. Mas, à medida que o corpo se move em torno do terceiro eixo, a direção para a qual aponta o eixo de rotação e, portanto, o terceiro eixo (ou o chamado eixo de precessão), também muda porque deve ser sempre perpendicular ao eixo de rotação e rotação . O resultado líquido é que o eixo de rotação sofre um movimento cônico no espaço. Um top de brinquedo é um bom exemplo desse fenômeno. A força da gravidade atua fazendo com que o topo caia de lado. Em vez de cair, no entanto, o eixo de rotação do topo precessa em um cone na direção vertical até que o topo pare de girar - então ele cai.

A Terra tem um movimento semelhante devido à influência média do sol e da lua em sua protuberância rotacional. O eixo da Terra forma um cone no espaço, mantendo sua inclinação de 23 & frac12 graus com a perpendicular à sua órbita. A direção do movimento para oeste leva a Terra cerca de 26.000 anos para fazer um movimento cônico completo. Como a influência do sol e da lua varia ao longo do ano e do mês, há uma ligeira oscilação introduzida no movimento cônico conhecido como nutação. Isso causa pequenas variações periódicas no ângulo de 23 e frac12 graus e no movimento para oeste do eixo de rotação da Terra.

FIGURA 3 A influência gravitacional da lua sobre a protuberância rotacional da Terra. A atração mais forte da lua no lado próximo da protuberância da Terra em relação àquela do lado oposto resulta em 2 forças de giro que tentam reduzir a obliquidade da eclíptica.

FIGURA 4 Uma comparação entre a precessão de um topo e a precessão da Terra. A força da gravidade no topo atua para tornar o ângulo de seu cone de precessão maior. As forças na protuberância rotacional da Terra agem para diminuir o ângulo do cone de precessão da Terra.

Observe na Figura 4 que o topo e a Terra giram ou giram na mesma direção, mas precessam em direções opostas. Isso porque a gravidade tenta fazer o topo cair, ou seja, ela tenta fazer com que o ângulo do cone de precessão do topo aumente. Para a Terra, entretanto, as forças do sol e da lua sobre a protuberância rotacional da Terra tentam diminuir o ângulo de 23 e 12 graus do cone de precessão da Terra. A direção da precessão de um corpo em rotação depende tanto da direção do giro quanto da direção em que as forças que dão origem à precessão estão sendo aplicadas. Conseqüentemente, a reversão das forças de rotação entre o topo e a Terra resulta na reversão de suas precessões.

À medida que o eixo da Terra se move para o oeste em seu movimento cônico, o equinócio vernal, que marca uma das interseções do equador com a eclíptica, também deve se deslocar para o oeste. Hiparco, o antigo astrônomo grego, havia descoberto essa lenta precessão dos equinócios para o oeste por volta de 120 a.C. Sua causa, entretanto, permaneceria desconhecida por mais de 18 séculos, até que Isaac Newton deu a explicação física de por que os equinócios se movem.

LONGITUDE E LATITUDE NA TERRA

A mudança na aparência do céu com a mudança de posição do observador confirma que a Terra é essencialmente esférica em forma e leva a um sistema de localização de posições em sua superfície. Como vimos, é a Terra que realmente gira na direção leste. A rotação aparente do céu para o oeste é meramente um reflexo do movimento da Terra. Os dois pontos na superfície da Terra na linha que une os pólos celestes são chamados de pólos de rotação da Terra. O círculo na Terra a meio caminho entre esses pontos é o equador da Terra. A distância de um local do equador em direção a qualquer um dos pólos da Terra pode ser medida encontrando o ângulo do equador à linha que une aquele local e o centro da Terra. Este ângulo é denominado latitude geográfica da localização. Todos os pontos na mesma latitude ficarão em um círculo paralelo ao equador, chamado de paralelo de latitude.

Devido às dificuldades óbvias de medir o ângulo diretamente, passamos um círculo pelos pólos da Terra e o local de interesse. A latitude do ponto é então a fração do círculo entre o ponto e o equador expressa em graus. O valor da latitude deve estar entre 0 e 90 graus, já que o pólo, o ponto mais distante do equador, fica um quarto de círculo longe do equador. O círculo, através do ponto ao longo do qual sua latitude é medida, é chamado de meridiano de longitude. A latitude de um ponto é chamada de Norte se estiver mais perto do Pólo Norte do que do Pólo Sul e do Sul se o inverso for verdadeiro.

A localização de um lugar ao longo de seu paralelo de latitude é encontrada comparando seu meridiano de longitude com o meridiano de longitude através de Greenwich, Inglaterra, que é chamado de meridiano principal. A longitude geográfica de um ponto na superfície da Terra é a fração de um círculo que é interceptada no equador pelo meridiano principal e pelo meridiano da longitude do ponto. A longitude é medida a partir do meridiano principal de 0 a 180 graus para o leste na direção da rotação da Terra e de 0 a 180 graus para o oeste na direção oposta. Assim, os dois arcos indicados na Figura 5 localizam exclusivamente Washington, D.C., que tem as coordenadas de longitude 77 W e latitude 38 N.

Esta descrição de latitude e longitude é fácil de aplicar a um globo que representa a Terra. Na Terra real, a determinação da latitude e longitude requer o uso da esfera celestial aparente. Primeiro, considere a latitude. Conforme mostrado na Figura 6a, para um observador posicionado no equador, o zênite encontra-se no equador celestial. Portanto, o Pólo Norte Celestial fica no Horizonte ou, dito de outra forma, a altitude do Pólo é zero grau. À medida que o observador se move em direção ao pólo, conforme mostrado na Figura 6b, o zênite se move em direção ao pólo celeste no mesmo ângulo em que o observador se moveu na latitude. O horizonte norte, portanto, parece mergulhar abaixo do pólo na mesma proporção. Em outras palavras, a altitude do pólo é igual à latitude do observador. A tarefa básica de um agrimensor ao medir uma latitude é, conseqüentemente, medir a altitude do pólo celeste visto daquele local. Uma latitude determinada dessa maneira é chamada de latitude astronômica e geralmente difere um pouco da latitude dada em um mapa por causa de pequenas irregularidades no campo gravitacional e na forma da Terra.

FIGURA 5 O sistema de longitude e latitude. A longitude é medida a leste ou oeste ao longo do equador a partir do meridiano principal. Latitude is measured north or south from the equator.

Longitude is somewhat more difficult to measure, although the measurement is, in principle, simple. Begin by identifying the observer's celestial meridian, the circle passing through the celestial meridian, and the observer's zenith. The celestial meridian lies directly over the observer's meridian of longitude. Consider another observer at Greenwich, where the celestial meridian of Greenwich corresponds to the prime meridian of longitude. Assume a star to be on the celestial meridian of Greenwich, as shown in Figure 7. Then, since the Earth rotates eastward once in 24 hours, the meridian of an observer to the west of Greenwich will advance toward the same star at a rate of 15 degrees each hour. Timing how long it takes the star to reach the observer's meridian after it has crossed that of Greenwich is, thus, equivalent to measuring the longitude from Greenwich to the observer. The longitude for this situation would be labeled West. If the observer had been in the Eastern Hemisphere, the star, naturally, would cross the observer's meridian before it crossed that of Greenwich. The time interval converted to degrees at the rate of 15 degrees per hour would still be the longitude. The longitude would be labeled East in this case, however. Frequently the longitude is expressed as the time difference between when a star crosses the meridian of Greenwich, and when it crosses the meridian of the observer, without converting to degrees. Longitude determination requires a precise knowledge of time and led to the development of accurate clocks to permit navigation at sea.

FIGURE 6 The change in the celestial pole and the celestial equator as the observer changes latitude. The figure on the left shows a position at 40 degrees latitude (l = A = 40) and that on the right shows one at 60 degrees. The observer's zenith moves from the celestial equator toward the celestial pole as the observer moves from zero latitude toward higher latitude.

FIGURE 7 The determination of longitude by timing star transits. The difference in the times of transit of a star on the celestial meridian of Greenwich (at G ) and the observer's meridian (at EL ) is equal to the observer's longitude. The longitude is east if the star crosses the observer's meridian first and west if it crosses the meridian of Greenwich first. In this case the star crosses at s before it crosses at s' . (i.e. East Lansing is West of Greenwich.)

CELESTIAL COORDINATES

The technique for locating objects on the Earth may be applied to locating stars on the celestial sphere. The celestial equator is now the important circle. The angle between the equator and the direction of a star is called the declination of the star it is usually symbolized by d or Dec. Conceptually, declination is analogous to geographical latitude. Since a star keeps the same declination throughout a day, its diurnal circle is also a parallel of declination. All other stars with the same declination lie on the same parallel. To locate a given star on its parallel, the celestial meridian can be used in much the same way that the meridian of Greenwich is used on Earth. Pass a great circle through the celestial poles and the given star. This circle is called the hour circle of the star. The angle at the equator between the celestial meridian and the hour circle of the star is called the local hour angle (LHA) of the star. It is always measured westward from 0 through 360 degrees or 0 through 24 hours. Again, 1 hour of angle equals 15 degrees of angle. When a star has an hour angle of 0, it is highest in the sky on the observer's meridian and is said to be in transit (or more properly, upper transit). The precise measuring scheme is shown in Figure 8. Notice that since the sky appears to move westward, the local hour angle of the star is continually changing. For some purposes this is a nuisance but for timekeeping, it proves to be very helpful.

For cataloguing the positions of stars, it is desirable to have a coordinate system fixed to the stars, where both coordinates are unchanging, rather than a system fixed to the observer, who is actually in motion because of the Earth's rotation. Declination can be used as before because a star's declination does not change. The coordinate measured along the celestial equator can also be fixed by using a fixed point on the equator from which to measure. The point of reference which is chosen is the vernal equinox, indicated by the sign of Aries the Ram, ^. The vernal equinox is the point where the ecliptic (the sun's annual apparent path) cuts the equator such that a body traveling eastward on the ecliptic would pass from the southern to the Northern Hemisphere of the sky. The right ascension of a star is defined as the angle along the equator from the vernal equinox to the circle through the celestial poles which also passes through the star. The manner in which the right ascension-declination system is used and demonstrated in Figure 9. Right ascension, symbolized by a or RA, is always measured eastward from the vernal equinox, ranging in value from 0 through 24 hours.

FIGURE 8 The declination-hour angle coordinate system. The local hour angle (LHA) is measured westward from the observer's meridian along the celestial equator. Declination (d) is measured North or South from the celestial equator.

Using the right ascension-declination, or equatorial, system, maps of the sky can be drawn similar to the one depicted in Figure 10. Right ascension is always shown in the horizontal direction, increasing eastward to the left, and declination is always shown in the vertical direction, positive northward and negative southward. Due to precession, the celestial poles continually move relative to the stars. Hence, the celestial equator must also move, causing the vernal equinox to move westward slowly along the ecliptic. Because of this motion, the right ascension and declination of a star are continually changing, but very slowly. It is necessary to update the position of a star for the precession of the equinoxes. This is a nuisance requiring a rather straightforward calculation when the coordinates of a star are needed for a certain night, but its position has been given on a map, or in a catalogue of positions, for a different time.

FIGURE 9 The declination
(d) is measured
N and S from the equator
and the right ascension
(a) is measured eastward
from the vernal
equinox (Y) along
the celestial equator

FIGURE 10 A map of part of the celestial sphere .

TIMEKEEPING

The hour angle system can now be used to help us keep time. Local sidereal time, or star time, is defined as being equal to the local hour angle of the vernal equinox. The word local is required because this time is measured in reference to the observer's, hence the local, celestial meridian. Unfortunately, the vernal equinox is not visibly marked on the sky. We know that if the local sidereal time has a particular value, the vernal equinox is west of the observer's meridian by that hour angle. Alternately, the observers meridian is eastward of the vernal equinox by that same angle. But the angle measured eastward from the vernal equinox is right ascension. Therefore, as shown in Figure 11, the local sidereal time is equal to the right ascension of a star in transit at the given instant. A telescope called a meridian transit is used to determine sidereal time. This instrument has a horizontal axis that is aligned due East and West. As the telescope is rotated on its axis, its field of view sweeps along the observer's celestial meridian. If the telescope is pointed at the declination of a particular star, the observatory sidereal clock can be synchronized with the Earth's rotation by noting that the clock should read a time equal to the right ascension of the star when the star is precisely in the center of the field of the telescope. Sidereal time is useful for finding the positions of stars in the sky, but not for everyday use. For this purpose we prefer to tell time by the sun. Due to the Earth's orbital motion around it, the sun appears to move around the ecliptic once each year thus, it is continually changing its position relative to the vernal equinox. In general, sidereal noon, when the vernal equinox transits the meridian, does not coincide with solar noon, when the sun transits the meridian. In other words, during the year solar noon occurs at progressively changing times as measured by the sidereal clock.

FIGURE 11 Determination of local sidereal time by star transits. The local hour angle of the vernal equinox (that is, local sidereal time) equals the right ascension of a star upper transit.

The time used for our daily living is synchronized with the sun. Local apparent solar time equals the local hour angle of the apparent sun plus twelve hours. The twelve hours are added to make the solar day start at midnight rather than at noon. The apparent sun is simply the sun as we see it in the sky. The measurement of apparent solar time is illustrated in Figure 12. To estimate the difference between the solar and the sidereal day, refer to Figure 13.

FIGURE 12 Local apparent solar time. The local hour angle of the apparent sun plus 12 hours equals the local apparent solar time.

Assume the Earth to be at the point in its orbit where sidereal and solar noon happen to occur together. One sidereal day later the Earth will have made one full rotation relative to the vernal equinox but it will also have advanced nearly one degree in its orbit during that time. Therefore, it will have to rotate approximately one degree more to bring the sun back to the observer's meridian. It takes the Earth nearly 4 minutes to rotate through 1 degree. Therefore, an interval of 24 hours of solar time is roughly 4 minutes longer than 24 hours of sidereal time. A solar clock consequently appears, to run slower than a sidereal clock, "losing" 4 minutes each day.

FIGURE 13 Comparison of the solar and the sidereal day. The annual eastward motion of the sun in the sky causes it to move approximately one degree per day. This is the approximate additional amount over 360 degrees by which the Earth must rotate to bring the sun to two successive transits. It takes the Earth roughly four minutes to rotate one degree.

FIGURE 14 Causes of the variations in the length of the apparent solar day. (left) The eccentricity of the Earths orbit (exaggerated for clarity) causes the sun's apparent motion through the stars to vary. (right) Because of the obliquity of the ecliptic, to produce the same change in right ascension (A = A') , the sun must travel further along the ecliptic when it is far from the equator than when it is near the equator.

The best way to tell apparent solar time is with a sundial. Until mechanical clocks were invented, a sundial was the only good way of keeping time. However, mechanical clocks do not keep exact pace with the sundial, not because the clocks are bad, but because the apparent solar day varies in length throughout the year. The two causes of this variation are illustrated in Figure 14. First, the Earth's orbit is elliptical. The Earth therefore speeds up and slows down in its orbital motion in accord with Kepler's law of equal areas. Thus, the apparent solar day is longer when the Earth is at perihelion, and moving fastest, than when it is at aphelion, and moving slowest. The second cause of the changing length of the apparent solar day results from the obliquity of the ecliptic. Because of this 23½-degree angle between the ecliptic and the equator, a movement of the sun, when farthest from the equator, causes a greater change in the right ascension of the sun than an equivalent movement of the sun when near the equator. Since time is reckoned relative to the equator, this difference introduces a further variation in the length of the apparent solar day. To circumvent this problem, the concept of the mean sun is introduced. The mean sun is a fictitious sun that moves uniformly along the celestial equator. It goes once around the equator at constant speed each time the real sun appears to go once around the ecliptic. Local mean solar time, schematically depicted in Figure 15, is equal to the local hour angle of the mean sun plus 12 hours. Since the mean sun is fictitious, it is not directly observable. However, from a knowledge of the Earth's orbital motion, the position of the mean sun relative to the vernal equinox can be calculated. The position of the vernal equinox can be found by observing transits of the stars. Consequently, solar clocks are regulated at observatories by timing transits of stars. The sidereal time so observed is transformed to mean solar time by calculation this time, in turn, is used to check a mean solar clock.

FIGURE 15 Local mean solar time. The local mean solar time is equal to the local hour angle of the mean sun plus 12 hours.

Local mean solar time changes as you move eastward or westward in longitude. In fact, the difference in reading between two mean solar clocks at two places will be exactly the difference in the longitudes of the two locations. Strictly speaking, whenever you move eastward or westward, you should reset your local clock, no matter how little your longitude has changed. To remove this nuisance, standard time zones have been established. By common agreement all clocks within a time zone are set to read the same, that is, to keep standard time. The standard meridians of each zone differ by integer multiples of 15 degrees (or 1 hour) in longitude from the meridian of Greenwich. The standard zones, therefore, always differ by an exact number of hours from the time at Greenwich. Notice in Figure 16 how the zone boundaries have been adjusted to conform to geographical and political boundaries. The numbers at the top of the diagram indicate the number of hours that must be added to that particular standard time in order to find Greenwich time. Greenwich time, by the way, is frequently called universal time it is the time used in tabulation of time occurrence of astronomical events. Daylight saving time is simply the time that would be kept at tile next standard meridian East of the normal meridian for a particular zone. Clocks are therefore advanced one hour, which makes sunset occur one hour later by tile clock and gives the appearance of adding one more hour of daylight in the evening, hence its name. Of course, one hour of daylight is stolen from the morning. A convenient way to remember which way to change the clock when converting from standard to daylight saving time, or vice versa, is the saying "spring forward, fall back."

FIGURE 16. Standard time zones for North America. For political reasons these do not follow true lines of constant longitude. (From The US Naval Observatory Astronomical Applications Department Click here for a world map)

WHAT TIME IS IT?

The apparent solar day was the basis of timekeeping for much of the history of civilization. We still live by the sun, but we have improved on it as a keeper of precise time. This improvement did not start, however, until pendulum clocks were introduced in the last half of the seventeenth century and began to replace sundials as the means of determining time.

These first crude clocks were usually used to keep time between sundial readings because they were just not good enough to operate at a constant rate for long periods of time. It was not until the eighteenth century, when good mechanical clocks (often called chronometers) became available, that the first real break with apparent solar time was made and the concept of mean solar time began to take hold. Even into the early nineteenth century, it was still common practice to publish tables for observing the skies and for navigation in terms of apparent solar time. The length of the apparent solar day changes throughout the year, so the second, usually taken as the smallest basic unit of time, was not the same from day to day. But a well-designed clock keeps the same value of the second for extended periods of time, and it was this constancy that drove astronomers to look for a more uniform celestial timekeeper, the fictitious, mean sun. By the late eighteenth and early nineteenth centuries, mean solar time had come into general use.

Solar time is determined mainly by the Earth's rotation. Mean solar time simply averages out the speeding up and slowing down of the sun through the stars due to the characteristics of the Earth's orbit. Thus mean solar time is nothing more than a convenient way of measuring how much the Earth has turned on its axis and is certainly more convenient than sidereal time for everyday living purposes. A problem still remains, however, because the rotation rate of the Earth is not exactly constant, or, as we say relative to time, not precisely uniform.

The variable rotation of the Earth was apparent even as early as Newton's time, but it was not really scientifically determined until the beginning of the twentieth century. At that time it became well established, from studies of ancient eclipse records and the observations of planets, that celestial bodies appear to be moving ahead of where they should be in the sky. The celestial bodies are not at fault it is our timekeeper, the Earth, that is slowing down. The day is increasing in length by roughly one thousandth of a second each century due to tidal friction caused primarily by the moon. The tides tend to remain aligned with the direction toward the moon. Since the Earth rotates eastward more rapidly than the orbital motion of the moon carries it eastward, the Earth literally spins beneath the tides. Friction between the solid surface of the Earth and the waters of the tides functions as a brake to slow the rotation of the Earth. In addition, with the development of crystal-controlled clocks, it had become possible to measure seasonal changes in the Earth's turning resulting from atmospheric and oceanic changes induced by seasonal changes in temperature. There are also abrupt, small irregular changes in the Earth's rotation period induced by seismic readjustments, of material within the Earth. It is even possible to correlate some of these occurrences with major earthquake events.

With these discoveries it became evident that a better unit of time was needed. In 1952 the International Astronomical Union, meeting in general assembly in Rome, adopted the concept of Ephemeris Time. This is a dynamical time that is, it is the time required to make Newton's laws of motion predict the observed positions of the planets. The Ephemeris Second is tied to mean solar time by its definition, 1/31556925.975 of the length of the tropical year at the beginning of the year 1900. The correction that must be applied to Ephemeris Time to find mean solar time is in essence found after the fact by comparing the mean solar times of observations with the predicted positions of objects given in Ephemeris Time. The correction cannot be well determined until observations have been collected over two or three years, but our knowledge of past trends allows the estimation of an approximate value for a few years into the future. In 1980, the correction from Ephemeris Time to Universal Time (the mean solar time at Greenwich, England) had built up to 151.96 seconds from the correction of 3.90 seconds in 1900.

In the 1950's and 1960's a new type of clock was introduced, the so-called atomic clock. An example is shown in Figure 17. in these systems the fundamental frequencies associated with the structure of atoms are used to keep time. In 1972, by international agreement, the International Second (SI) was defined as the duration of 9,192,631,770 vibrations of the radiation corresponding to a particular spectral line of the isotope cesium-133. Cesium clocks are now in use at various national laboratories throughout the world. These laboratories report their results to the Bureau Internationale de I'Heure in Paris, France, where they are combined to form InterNational Atomic Time (TAI). This is converted to Mean Solar Time and, being given in terms of a clock at Greenwich, England, is called Coordinated Uni Time (UTC). In the United States, the National Bureau of Standards broadcasts time signals in UTC over radio station WWV (frequencies 5, 10, and 15 MHz). Whenever the difference between TAI and UTC accumulates to 0.9 second, a leap second is introduced in Universal Time to bring them back into agreement.

FIGURE 17 A modern atomic clock (NIST-7), accurate to one part in 5*10-15. (From A History of the NIST Time and Frequency Division National Institute of Standards and Technology by D.B. Sullivan, J.A. Wessels, Time and Frequency Division, Boulder, CO

The next time someone asks you for the time. you should ask them which kind of time before responding.

THE YEAR AND THE CALENDAR

Besides the day, there is a longer period that is used for timekeeping: the year, or the length of time it takes the sun to make one complete apparent path about the ecliptic. But, just as there are different kinds of days, there are different kinds of years, depending on the reference point by which one trip around the ecliptic is measured. We will be concerned with only two kinds, the sidereal year and the tropical year. The sidereal year is the interval between successive conjunctions of the sun with a particular star, and is the true period of the Earth's revolution about the sun. Strictly speaking, we should say a fixed direction in space instead of a particular star, because (as will be demonstrated later in the book) the stars are not really fixed. The tropical year is the interval between successive passages of the sun through the vernal equinox. Since the vernal equinox is moving slowly westward through the stars due to precession, the tropical year is slightly shorter than the sidereal year, as shown in Figure 17. The sidereal year is the true period of the Earth's revolution and is 365.2564 days in length, The tropical year is often called the year of the seasons it is 365.242199 days in length.

Due to the phenomenon of the seasons, the tropical year was the first to be discovered, although it was only crudely determined. The seasons are a direct result of the obliquity of the ecliptic. Shown in Figure 18 is a plot of the sky showing the relationship of the ecliptic to the celestial equator. The two points of intersection of these circles are called the equinoxes, which means equal nights. When the sun is at either of these points, its declination is zero, and it therefore is above the horizon for 12 hours and below it for 12 hours. The two points of extreme distance from the equator are called the solstices, which means the sun comes to a stop. It does, in fact, stop its movement in declination since it must reverse its direction of movement in declination at these locations. It has a declination of 23½ºN at the summer solstice and 23½ºS at the Winter solstice. When the sun is not at an equinox, the length of time the sun is above the horizon is different from that for which it is below the horizon the greatest difference occurs when the sun is a solstice. In the Northern Hemisphere there are more daylight hours than nighttime hours during the interval between the vernal and autumnal equinoxes. The opposite is true during the interval between the times of the autumnal and vernal equinoxes. To understand the seasons, consider Figure 19, which schematically represents the circumstances at the summer solstice. Since there are more than 12 hours of daylight in the Northern Hemisphere, that hemisphere receives more energy and warms up. The Southern Hemisphere suffers the opposite effect and cools off. There are four parallels of latitude that have been given special names in connection with the sun's two extreme positions. When the sun is at the summer solstice, it can be seen for 24 hours during the day within the cap bounded by the Arctic Circle, which lies 23½º from the North Pole (at 67½ºN latitude). This is the region of the midnight sun. At the same time, within the Antarctic Circle, 23½º from the South Pole (at 67½ºS latitude) there will be 24 hours of darkness during the day. In the winter, when the sun is at the other solstice, the circumstances in the caps reverse, and the Antarctic Circle defines the region of the midnight sun. The region on Earth, where on one or two days during the year, the sun can appear directly overhead, at the zenith, is bounded by tile so-called Tropics. The Tropic of Cancer is at 23½ºN and the Tropic of Capricorn is at 23½ºS. Their names were chosen by the early Greeks because the sun was entering the constellations of Cancer in the summer and Capricorn in the winter. Of course, that is no longer true today because of the precession of the equinoxesbut the names have stuck.

FIGURE 18 Comparison of the sidereal and the tropical years. Because the vernal equinox precesses westward, it does not take as long for the sun to appear to line up with the vernal equinox as it does with a star.

FIGURE 19 Plot of the ecliptic on the celestial sphere showing the locations of the equinoxes and the solstices.

FIGURE 20 Causes of the seasons. During the summer in the Northern Hemisphere. The number of daylight hours exceeds the number of nighttime hours, and sunlight also strikes the surface of the Earth more directly than during the winter. Both of these effects contribute to supplying more solar energy to the Northern Hemisphere, making the summertime warmer than wintertime .

Average Length (days) Early Roman: 365 days each year

365.000000 Julian: Every year divisible by 4 is a leap year.

365.250000 Gregorian : Century years not divisible by 400 are ordinary years.

365.242500 Modified Gregorian: The years 4000, 8000, 12,000 etc. are ordinary years.

TABLE 1
Comparison of various calendars.

Along with the increased length of the day, the rays of the sun strike the Earth's surface more directly in the Northern Hemisphere from the time of tile vernal to tile autumnal equinox, which results in more effective heating and adds to the seasonal changes. The opposite is true in the other half of the year. Both the variation in daylight hours and the changing angle at which sunlight strikes the Earth's surface result from the obliquity, of the ecliptic and are the detailed causes of the seasons.

The calendar was devised to count days and identify events according to the year. The early Roman calendar, from which ours is derived, contained 365 days per year and had no leap years. Because the number of days in a tropical year is not an exact number, the day of the beginning of spring continually fell later in the year. In 720 years, it would have moved from what is now March into September. Sosigines, an astronomer from Alexandria in Egypt, pointed out that the tropical year is about 365.25 days long. By adding a leap year of 366 days every fourth year, the average calendar year would become 365.25 days. Julius Caesar accepted Sosigines' observation and instituted the leap year in what we now call the Julian calendar. Of course, the tropical year is actually slightly shorter than 365.25 days. The time of the vernal equinox now moved more slowly through the calendar, but occurred progressively earlier in the year. In 1582 Pope Gregory, following the advice of the astronomer Clavius, introduced the Gregorian calendar. He deleted three leap years every 400 years by making century years not divisible by 400 into ordinary years. The average calendar year, over a 400-year span, becomes 365.2425 days, which is still slightly too long. As a point of interest, England and the American colonies did not adopt the Gregorian calendar until 1752. So the year 2000 will be the first century year that will be recognized as a leap year in Canada and the United States since the Julian calendar was abandoned. A modified Gregorian calendar has been proposed in which the years exactly divisible by 4000 will be ordinary years, giving an average length of 365.24225 days. Although it is over 2000 years before this modification will be required, it will result in a calendar in which the seasons will get out of step with the calendar by only 1 day every 19,600 years.

REFERENCES

Here are references to recent books and WEB sites which discuss the history of time keeping and mathematical schemes for calculating latitude and longitude using a pocket calculator. You may use these as a supplement to the class material,. They are mostly for your enjoyment and entertainment.

  • Longitude : The True Story of a Lone Genius Who Solved the Greatest Scientific Problem of His Time , Dava Sobel, Penguin USA (Paper): October 1, 1996 .
  • Field Guide to the Stars and Planets (The Peterson Field Guide Series), Jay M. Pasachoff , 1992 .
  • Star Names Their Lore and Their Meaning , Richard Hinckley Allen , Dover Pubns: June 1963.
  • Practical Astronomy With Your Calculator , Peter J. Duffett-Smith, 3rd Ed, Cambridge Univ Pr,: March , 1990.

KEY T E R M S

daylight saving time obliquity of the ecliptic
declinação parallel of declination
equinócio parallel of latitude
Foucault pendulum precessão
geographical latitude prime meridian
geographical longitude right ascension
Gregorian calendar sidereal year
hour circle solstice
Julian calendar standard time
local apparent solar time stellar aberration
local hour angle tropical year
local mean solar time universal time
local sidereal time -

R E V I EW QU EST I 0 NS

1. What phenomenon does the Foucault pendulum demonstrate?

2. What are two methods observers on Earth can use to show that the Earth goes around the sun?

3. What causes the equatorial bulge of the Earth?

4. What causes the precession of the Earth's axis?

5. What are three motions of the Earth?

6. The North Star, Polaris, is within 1 degree of the North Celestial Pole. If Polaris appears about 40 degrees above your horizon, where are you on the Earth?

7. The following names refer to markings on a globe of the Earth. For each, list the corresponding name on the celestial sphere. uma. Equator b. North Pole c. Latitude d. Longitude.

8. Latitude 0 degrees and declination 0 degrees occur on the terrestrial and celestial equators. These circles, in turn, are naturally determined by the terrestrial poles and the celestial poles. But longitude 0 degrees and 0 hours right ascension are arbitrarily defined and were selected for convenience. What defines longitude 0 degrees and 0 hours right ascension?

9. How many degrees does the celestial sphere appear to rotate in one hour? In four minutes?

10. The sun's diameter in the sky is about 0.5 degree. About how long does it take for the sun in its daily motion to appear to move its own diameter across the sky?

12. Why has the keeping of accurate time traditionally been the task of astronomers?

13. What time is measured by a sundial?

14. Why is a solar day longer than a sidereal day?

15. Why don't we use local mean solar time in our everyday lives?

16. Why do standard time zones run generally north-south, not east-west?

17. The time zones for New York and California differ by 3 hours? When it is noon in New York, what time is it in California?

18. Why do different constellations appear at different seasons of the year?

19. What causes the seasons?

20. If you are north of the Arctic Circle in June (but not exactly at the North Pole), in what direction would you look to see the midnight sun?

21. How are the sidereal and tropical years defined?

22. What are the equinoxes and the solstices? When does the sun reach each of these points?


8 Answers 8

Who needs stars to navigate, anyway?

Navigation can be done by means other than stellar wayfinding. Consider the various methods in use by the Polynesians:

  • They used concept maps that show patterns in the water
  • They used patterns of waves & currents
  • They used cloud patterns, winds and the movements of birds
  • They used songs and stories to record and describe sea routes
  • They also used stars, but those are lacking in your locale! However, I've heard that there are at least 60 galaxies within the Void, strung along in a kind of tubular structure. Perhaps one or more of those will be visible.

Your navigators could very easily fashion highly detailed route maps that note currents, wave patterns, shoals, coastal features. These could be in the form of strip maps which show only what's along a route, not the whole world or even a broad region:

With NO stars, but also with no navigational tools such as compass or sextant?

The best you could do is to determine your Latitude, and East-west-north-south directions, by using a sun stick.

Obviously you need to do this in the daylight, with a visible sun and a reasonably stable workspace.

While it is trivial to get compass direction this way, latitude is a bit more tricky because of seasons and the Earth's tilt.

You need to know how far the sun deviates from true vertical at noon, for a given date of the calendar. By measuring the angle of the sun's shadow at noon (by observing the ratio of stick height to shadow length), you can derive a very accurate latitude.

Longitude is a LOT more difficult. To have any chance of determining your longitude(east-west positions on the globe), you need to know when the sun rises or sets. Accurate to a few seconds. You tb need to know the elapsed time since taking a matching baseline for this at a known location. This requires a timekeeping tool that is accurate to seconds, over however long a period you need to navigate away from your base. This was simply not available in Phoenician times. Nor in Roman times, nor even in Medieval times. The first practical timepiece for ship navigation was made in the 1800's

But you do not need to know your place on the globe, to navigate. Line of sight works perfectly, and also line of sight to a recognizable feature on a map. With a good enough map you can sail as far as the shore is within sight. And panic yourself to death if a nice fog rolls in, and you lose orientation. Or in the case of this benighted little planet, if the sun sets and the moon is not in a visible location.


(5a) Navigation

I must go down to the sea again
To the lonely sea and sky
And all I ask is a tall ship
And a star to steer her by
Sea Fever by John Masefield

How does a captain determine a ship's position in mid-ocean? In our space age, this is easily done, by using the GPS system of satellites--the Global Positioning System. That network of 24 satellites constantly broadcasts its positions, and small hand-held receivers exist which convert those signals into positions accurate within 15 meters or about 50 feet.

Before the space age, however, it was not as easy. One had to use the Sun and the stars.

Finding latitude with the Pole Star

The angle between the direction of the pole and the zenith is then ( 90°-h ) degrees. If you continue the line from zenith downwards (see drawing) it reaches the center of the Earth, and the angle beween it and the Earth's axis is also ( 90°-h ).

Therefore (as the drawing shows) h is also your latitude.

Finding latitude with the noontime Sun

Noon is when the Sun reaches the highest point in its journey across the sky. It then crosses the north-south direction--in the northern hemisphere, usually south of the observer. Because the axis of the Earth is inclined by an angle e = 23.5° to a line perpendicular to the ecliptic, the height of that point above the horizon depends on the season. Suppose you are at point P. We examine 3 possibilities:

Look at the drawing and imagine you could rotate
the equator and the north pole N
until they reached the
ecliptic and the pole of the ecliptic N'.
Then all three angles marked e fold up together, showing that they are equal. You get

a = l + e and your latitude is

(2) Half a year later, at the summer solstice (June 21), the north pole is inclined towards the Sun, not away from it, and now (if l is larger than e )

a = l - e and your latitude is

Thus at least at those dates, seafarers could tell what their latitude was by measuring the position of the noontime Sun.

For any other date, navigation tables exist that give the proper angle (smaller than 23.5 degrees) which must be added or subtracted. They also provide formulas for deriving the height of the noontime Sun from observations made at other times.

As with the pole star, rather than measuring the angle a from the zenith--which is not marked in the sky!--it is simpler to measure the angle ( 90°-a ) from the horizon, which at sea is usually sharply defined. Such observations, known as "shooting the Sun," are done with an instrument known as the sextant . It has a sliding scale covering 1/6 of a circle (hence the name) and an attached pivoted mirror, providing a split view: by moving the scale, the sea-officer brings Sun and horizon simultaneously into view and then reads off the angle between them.

Longitude

Longitude was a much harder nut to crack. In principle, all one needs is an accurate clock, set to Greenwich time. When the Sun "passes the meridian" at noon, we only need to check the clock: if Greenwich time is 3 p.m., we know that 3 hours ago it was noon at Greenwich and we are therefore at longitude 15° x 3 = 45 degrees west.

However, accurate clocks require a fairly sophisticated technology. Pendulum clocks can keep time quite accurately on firm land, but the pitching and rolling of a ship makes them quite unsuitable for sea duty.

Non-pendulum clocks--e.g. wristwatches, before they became electronic--use a balance wheel, a small flywheel rotating back and forth through a small angle. A flat spiral spring is wrapped around its axis and it always brings the wheel back to its original position. The period of each back-and-forth oscillation is then only determined by the strength of the spring and the mass of the wheel, and it can replace the swing of the pendulum in controlling the motion of the clock's hands.

Gravity plays no role here, and motions of the ship also have very little effect as discussed in a later section, a vaguely similar method was used in 1973 for "weighing" astronauts in the weightless environment of a space station. For navigation, however, such a clock must be very accurate, which is not easy to achieve: friction must be minimal, and so must changes in the dimensions of the balance wheel and properties of the spring due to changing temperature and other factors.

In the 17th and 18th century, when the navies of Britain, Spain, France and Holland all tried to dominate the seas, the "problem of longitude" assumed great strategic importance and occupied some of the best scientific minds. In 1714 Britain announced a prize of 20,000 pounds--a huge sum in those days--for a reliable solution, and John Harrison, a British clockmaker, spent decades trying to achieve it. His first two "chronometers," of 1735 and 1739, though accurate, were bulky and delicate pieces of machinery they have been restored and are ticking away on public display, at the Royal Astronomical Observatory in Greenwich. Only his 4th instrument, tested in 1761, proved satisfactory, and it took some additional years before he received his prize.

An extensive and delightful web site on the story of the "longitude problem," by Jonathan Medwin, can be reached here. Another recommended source is the book Longitude by Dava Sobel.

Nansen

In 1893 the Norwegian explorer Fridtjof Nansen set out towards the north pole (located in the ice-covered Arctic Ocean) in a specially strengthened ship, the "Fram." Having studied the currents of the Arctic Ocean, Nansen allowed "Fram" to be frozen into the polar ice, with which it slowly drifted across the water. Nearly two years, later, realizing that the course of "Fram" fell short of the pole, Nansen (who had prepared for this possibility) left the ship with his colleague Johansen and attempted to reach the pole by sleds over the ice. About 400 miles short of the pole they had to turn back: they wintered on a desolate island, in a hut they built of stones and walrus hides, and the following spring they headed for the islands of Svalbard (Spitzbergen).

They had been in the icy wilderness for more than a year, completely out of touch, but they always knew exactly where they were, because each man carried a spring-powered chronometer. Then disaster struck--in a moment of distraction, both forgot to rewind their chronometers and allowed them to run down. Suddenly, they were lost! Based on their last recorded positions, they made a guess and reset their timepieces, but the rest of their journey was clouded by uncertainty. Luckily, they did not have much further to go, and as chance had it, they encountered a British Arctic expedition which took them home. "Fram" broke free from the edge of the ice at about the same time it is now on public display in Oslo.