Astronomia

Ângulo de 2 pontos na esfera celestial

Ângulo de 2 pontos na esfera celestial


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Gostaria de encontrar o ângulo em radianos entre duas coordenadas equatoriais, ou seja, de RA dec do ponto 1 e RA e dec do ponto 2.


Existem várias fórmulas para calcular este ângulo. O mais simples é construir os vetores unitários: $$ begin {align} hat {n} _i & = left [ begin {array} {c} cos delta_i cos alpha_i cos delta_i sin alpha_i sin delta_i end {array} right] end {align} $$ Onde $ delta $ é a declinação e $ alpha $ é a ascensão correta, então pegue o produto escalar dos vetores para as duas posições e, finalmente, use $ hat {n} _1 cdot hat {n} _2 = cos theta_ {12} $. O produto escalar resulta na seguinte equação:

$$ cos ( theta_ {12}) = sin ( delta_1) sin ( delta_2) + cos ( delta_1) cos ( delta_2) cos ( alpha_1 - alpha_2) $$

O problema com essa abordagem é que ela perde a precisão numérica muito rapidamente quando $ theta_ {12} ll 1 $ radiano. Assim, a fórmula Haversine: $$ theta_ {12} = 2 operatorname {arcsin} left ( sqrt { sin ^ 2 left ( frac { delta_2 - delta_1} {2} right) + cos delta_1 cos delta_2 sin ^ 2 left ( frac { alpha_2 - alpha_1} {2} right)} right), $$ geralmente é preferível. Existe um algoritmo que cobre todos os casos, as fórmulas do Vincenty, mas é muito mais complicado de implementar.

Você pode encontrar uma boa discussão sobre as diferenças práticas nesta pergunta sobre Sistemas de Informação Geográfica, Este Site.


Queria fazer um comentário sobre a resposta de Sean, mas não tenho reputação para fazer isso. Acho que vou tentar responder pedindo desculpas a Sean.

Ao converter de coordenadas esféricas em cartesianas, você deve prestar atenção às suposições do sistema de coordenadas esféricas que está sendo usado. Nesse caso, a suposição usada no sistema de coordenadas equatorial sobre o significado do ângulo de declinação é diferente da suposição usada na primeira equação na resposta de Sean. Sabemos disso porque o valor de x é (cos δi * sin αi). Isso é correto para a inclinação ou o caso em que o ângulo está entre o vetor e o eixo Z. Para coordenadas equatoriais, o ângulo está entre o vetor e o plano XY.

Sistemas de coordenadas esféricas usando inclinação são diagramados aqui:

Wikipedia sobre sistemas de coordenadas esféricas

O sistema de coordenadas equatorial é diagramado aqui:

Wikipedia no sistema de coordenadas equatoriais

Então, para calcular os vetores cartesianos para um determinado ponto equatorial da notação astronômica usual para graus ou radianos. A Ascensão Reta é dada em horas, minutos e segundos. Uma hora equivale a 15 graus. (São 24 horas em uma rotação completa e 360/24 é 15.) Um minuto é 1/60 de uma hora. 15/60 dá 1/4, então cada minuto é 1/4 de um grau. Finalmente, um segundo é 1/60 de um minuto. Multiplicando a fração de um minuto em um segundo (1/60) pelo número de graus em um minuto (1/4) dá o número de graus em um segundo. (1 / (60 * 4)) = 1/240. Multiplique as horas por 15, os minutos por 1/4 e, finalmente, os segundos por 1/240 e, em seguida, some os três números.

Mais informações aqui:

Wikipedia em ascensão reta

Há um trabalho semelhante para a declinação. A declinação é em graus, minutos, segundos. Não precisamos converter de horas para graus, pois a declinação não usa a ideia de horas. Minutos e segundos são convertidos como na Ascensão Reta.

Mais aqui:

Wikipedia em declinação

Após esta conversão, você pode transformar as coordenadas de esféricas em cartesianas. Para fazer isso, precisamos saber o raio ou distância da origem do sistema de coordenadas e do objeto. Os pontos equatoriais geralmente não vêm com essa informação. Podemos usar 1 porque a distância não altera o ângulo entre os dois pontos. Também torna a matemática mais fácil.

Para obter X, começamos calculando a projeção do vetor no plano XY.

LenXY = 1 * cos (Declinação)

Em seguida, precisamos calcular a projeção do vetor no plano XY no eixo X.

X = LenXY * cos (Ascensão Reta) ou

X = cos (declinação) * cos (ascensão reta)

O processo para Y é semelhante, mas é claro que queremos a projeção no eixo Y. Isso será pecado (ascensão reta) em vez de cos.

Y = LenXY * sin (Ascensão Reta) ou

Y = cos (declinação) * sin (ascensão reta)

Finalmente Z é a projeção do vetor original no eixo Z. Como a declinação é relativa ao eixo Z, embora medida em relação ao plano XY, podemos calcular a projeção diretamente.

Z = 1 * sin (declinação) ou

Z = sin (declinação)

Eu acredito que o Haversine funcionaria como foi feito para trabalhar com longitude e latitude. A latitude usa um ângulo de declinação da mesma forma que a declinação em coordenadas equatoriais.

Uma vez que o problema parece ser o limite da quantidade de precisão que os números de ponto flutuante típicos em computadores têm, eu sugeriria olhar para bibliotecas matemáticas que suportam precisão arbitrária. Uma biblioteca para Python está aqui: Link para a biblioteca Python Arbitrary Precision

Finalmente, aqui está um link para uma descrição de como calcular a posição da lua e dos planetas de acordo com seus elementos orbitais.

Computando Posições Planetárias


Observação celestial

A esfera celestial é uma esfera imaginária ao redor da Terra. Podemos imaginar que todos os objetos naturais no céu podem ser plotados nisso para que possamos medir e compreender suas posições aparentes.

Nossos pólos são projetados para o céu e são conhecidos como pólos celestes. Da mesma forma, nosso equador é projetado para fora e conhecido como equador celestial.

Certifique-se de ter lido a página Eclíptica neste ponto.

O ponto em que o sol na eclíptica cruza o equador celestial no equinócio primaveril é conhecido como 'Primeiro Ponto de Áries' (nomeado após a constelação onde ocorreu há muitos anos). Onde cruza o equador no equinócio outonal, é conhecido como o 'Primeiro Ponto de Libra'. Devido aos efeitos da precessão, esses pontos mudaram e agora o Primeiro Ponto de Áries está agora em Peixes e o Primeiro Ponto de Libra agora está em Virgem.

Existem dois sistemas de coordenadas que usamos na astronomia:

Antes de continuar, vamos ver como o Sol se encaixa nisso.

Um observador está localizado em um determinado lugar, entre o equador e os pólos, eles verão estrelas abaixo e acima do equador celestial, pois a eclíptica está em um ângulo de 23,5 ° no céu. Quando o Sol está no ponto mais alto durante o dia ao meio-dia, podemos calcular sua altitude.

Altitude do Sol = Declinação do Sol + (90 ° - Latitude do Observador)
Portanto, para Londres (51 ° N) no final de junho, pode ser
Altitude do Sol = 20 ° (Declinação) + (90 ° -51 ° = 39) = 59 °.
Em dezembro, isso funcionaria como -23 ° (declinação) + 39 = 16 °


Técnicas matemáticas: a esfera celestial

Diagrama da esfera celestial.

O conceito de esfera celeste foi fundamental para a astronomia posicional ao longo da Antiguidade, da Idade Média e do início da era Moderna, e ainda é útil hoje. Em essência, a esfera celeste discutida aqui é um modelo geométrico, mas em tempos anteriores o conceito de uma esfera ou esferas físicas também era básico para muitas discussões cosmológicas. Muitos autores enfatizaram a importância de uma distinção clara entre os dois, particularmente como parte da demarcação da astronomia matemática da filosofia natural. Na prática, entretanto, essa distinção era freqüentemente difícil de manter.

O diagrama abaixo representa a esfera celestial. No centro da esfera está a Terra e, portanto, o ponto de vista do observador. A superfície da esfera atua como a referência contra a qual todos os corpos celestes observados do centro estão localizados. Visto que, da perspectiva geocêntrica, os céus parecem girar em torno da Terra uma vez a cada vinte e quatro horas, considera-se que a esfera celeste possui esse movimento específico. O eixo de rotação termina nos pólos celestes norte e sul equidistantes entre os pólos, a esfera é circundada pelo equador celeste. Em um ângulo fixo com o equador está outro grande círculo da esfera celestial, a eclíptica. Isso representa o caminho anual do sol. Os dois pontos quando a eclíptica e o equador se cruzam, portanto, marcam a posição do sol nos equinócios de primavera (vernal) e outono.

A posição de qualquer ponto na superfície da esfera (e, portanto, de qualquer corpo celeste a que se refere) pode ser dada com referência ao equador ou à eclíptica. No sistema de coordenadas equatorial, a posição é especificada por ascensão reta e declinação. Ascensão reta é a distância angular ao longo do equador a partir do equinócio vernal. A declinação é a distância ao norte ou ao sul do equador ao longo de um grande círculo que passa pelo ponto em questão e pelos dois pólos celestes. No sistema de coordenadas da eclíptica, a posição é especificada pela longitude e latitude celestes. A longitude celestial é a distância angular ao longo da eclíptica, novamente a partir do equinócio vernal, latitude celestial é a distância ao norte ou ao sul da eclíptica ao longo de um grande círculo que passa pelos dois pólos celestes.

Outro sistema de coordenadas usado pelos astrônomos é o sistema horizontal, no qual os corpos estão localizados de acordo com sua altitude e azimute. A altitude de um corpo é sua distância angular ao norte ou ao sul do horizonte; um corpo tem uma altitude de 90 graus quando está no zênite do observador. O azimute é a distância angular ao longo do horizonte do ponto mais ao norte. No entanto, como o horizonte de um observador varia com sua latitude terrestre, o sistema horizontal é um sistema de coordenadas estritamente local. Instrumentos como esferas armilares e globos celestes, que representam a esfera celeste, devem, portanto, ser ajustados para a latitude apropriada, se possível, quando o sistema horizontal é empregado.

Relatos da esfera celeste normalmente se referem a outros círculos em sua superfície, incluindo os círculos árticos e antárticos, o zodíaco, os trópicos e as coluras solsticiais e equinociais. O zodíaco é uma faixa que se estende para ambos os lados da eclíptica e é dividido nos doze signos zodiacais que contém os cursos de todos os planetas conhecidos pelos Antigos. O Trópico de Câncer é um círculo paralelo ao equador celestial que toca a eclíptica em seu ponto mais ao norte quando o Sol está neste ponto, prestes a entrar no signo zodiacal de Câncer, é o solstício de verão. O Trópico de Capricórnio mantém a mesma posição em relação ao ponto da eclíptica correspondente ao solstício de inverno. A colura solsticial é um grande círculo que passa pelos pólos celestes e esses dois pontos solsticiais. A colura equinocial é um grande círculo que passa pelos pólos celestes e pela eclíptica nos dois equinócios.

Leitura recomendada

Martianus Capella, O Casamento de Filologia e Mercúrio, Livro VIII. Traduzido em W. Stahl, R. Johnson, & E. Burge, Martianus Capella and the Seven Liberal Arts, 2 de 2 vols., 1971-1977

Sacrobosco, De Sphaera, especialmente Capítulo II. Traduzido em L. Thorndike, The Sphere of Sacrobosco and its Commentators, Chicago 1949


A esfera celestial

Vários sistemas diferentes de coordenadas existem na astronomia para descrever as posições dos vários objetos celestes. Cada sistema de coordenadas tem sua própria classe de situações nas quais é conveniente. Devemos tomar emprestado dos antigos gregos o conceito de esfera celestial no qual residem todos os corpos celestes. Esta esfera, centrada na Terra, é muito, muito grande em comparação com a Terra. Embora os astrônomos modernos saibam que os corpos celestes na verdade não estão em uma esfera celeste, o conceito ainda é útil para descrever as posições e movimentos desses objetos.

Figura 1: A esfera celeste com alguns pontos significativos marcados. A esfera pequena e central representa a Terra, enquanto a esfera grande representa a esfera celestial na qual todos os objetos celestes estão localizados.

Antes de introduzir os diferentes sistemas de coordenadas na astronomia, alguns dos termos comuns devem ser explicitamente declarados. Referindo-se à Figura 1, a extensão do plano equatorial da Terra para a esfera celestial é conhecida como o equador celestial, enquanto as extensões dos pólos determinam o pólo norte celestial (NCP) e o pólo sul celestial (SCP). O caminho aparente do sol ao longo do ano na esfera celeste é conhecido como o ecclíptico, traçando um círculo inclinado cerca de 23,5 & # 176 em relação ao equador celestial. Os dois pontos em que a eclíptica cruza o equador celestial são conhecidos como equinócios. O equinócio vernal (VE) é o ponto em que o sol está "ascendendo" para o hemisfério celeste norte, enquanto o equinócio de outono (AE) corresponde ao ponto em que o sol está "descendo" para o hemisfério celeste sul. O solistices, por outro lado, são as posições ao longo da eclíptica que estão mais distantes do equador celestial. O solstício de verão (SS) é o ponto mais ao norte da eclíptica, enquanto o solstício de inverno (WS) é o ponto mais ao sul. É evidente que essa terminologia é tendenciosa para observadores que vivem no hemisfério norte, uma vez que as estações são opostas no hemisfério sul do que seria esperado dos solistícios e equinócios. Quando o sol está no solstício de verão, o hemisfério sul está profundamente no inverno, enquanto o hemisfério norte aproveita o verão. Da mesma forma, quando o sol está no equinócio vernal, o hemisfério sul está experimentando o outono.

Figura 2: O céu em relação a um observador na Terra.

Agora, concentre-se na parte do céu visível para um determinado observador, conforme ilustrado na Figura 2. O ponto no céu diretamente acima do observador é conhecido como o zênite (Z). O horizonte é então definido como o círculo de pontos na esfera celeste em um ângulo de 90 & # 176 do zênite em relação ao observador. Teoricamente, o céu visível do observador é determinado por seu horizonte. Assim, cada observador deve ser capaz de ver metade da esfera celeste em qualquer momento durante a noite. No entanto, árvores, edifícios e outras obstruções geralmente limitam significativamente a parte do céu que pode ser vista. As instruções familiares constituem o ponto Norte (N), ponto sul (S), ponto leste (E), e Ponto oeste (W) no horizonte. Então, o semicírculo NZS é conhecido como o meridiano. Além disso, observe que o ângulo entre o equador celestial e Z em relação ao observador é conhecido como o latitude do observador.

Por causa da rotação da Terra para o leste, a esfera celeste exibe uma rotação aparente para o oeste em torno de um eixo através de NCP e SCP. As estrelas e outros objetos localizados na esfera celestial parecem surgir no leste e se pôr no wset à medida que cruzam o horizonte de um observador para dentro e para fora do céu visível. No entanto, dependendo da latitude do observador, existem algumas estrelas que nunca se põem. Essas estrelas com caminhos entre NCP e N para observadores do hemisfério norte (entre SCP e S para observadores do hemisfério sul) são visíveis durante toda a noite ao longo do ano. Como essas estrelas tendem a estar relativamente próximas do pólo visível, elas são conhecidas como estrelas circumpolares.

Figura 3: O sistema alt-azimuth.

Um sistema para descrever as posições na esfera celeste é o altitude-azimute sistema de coordenadas ou sistema alt-azimuth. Considere uma estrela no ponto P em relação ao horizonte de um observador, conforme ilustrado na Figura 3. O arco relevante do semicírculo conectando Z e P também é ilustrado na figura. A primeira coordenada neste sistema, o altitude, é o deslocamento angular acima do horizonte medido ao longo deste arco por um observador em O. azimute é o deslocamento angular deste arco do ponto norte N medido no plano do horizonte. A altitude varia de 0 & # 176 no horizonte a 90 & # 176 no zênite, enquanto o azimute se estende por toda a escala 0 & # 176 a 360 & # 176 com N, E, S e W em 0 & # 176, 90 & # 176 180 & # 176 e 270 e # 176, respectivamente. É importante observar que, como os objetos celestes se movem constantemente no céu, a altitude e o azimute de um determinado objeto mudam continuamente ao longo da noite. Assim, o sistema alt-azimuth não é bom para atribuir coordenadas permanentes às estrelas, em vez disso, é benéfico para descrever a posição de um objeto em relação ao horizonte de um observador em um determinado momento.

Figura 4: O sistema equatorial.

Um segundo sistema, mais amplamente utilizado pelos astrônomos do que o primeiro, é o sistema de coordenadas equatoriais. É análogo ao esquema de latitude-longitude para a superfície da Terra. Considere uma estrela no ponto P e o semicírculo conectando o NCP, SCP e P, conforme ilustrado na Figura 4. O declinação (Dec) da estrela é o seu deslocamento angular do equador celeste medido ao longo deste semicírculo por um observador em O. ascensão certa (RA) da estrela é o deslocamento angular deste semicírculo de VE medido na direção leste dentro do plano do equador celestial. A declinação varia de -90 & # 176 a 90 & # 176 com o SCP, equador celestial e NCP em -90 & # 176, 0 & # 176 e 90 & # 176, respectivamente. A ascensão reta é medida em unidades de tempo ao invés de graus, onde o 360 & # 176 é equivalente a 24 horas começando com 0 horas em VE. Como o sistema equatorial usa como referências o equador celestial e o equinócio vernal (que giram na esfera celeste na mesma proporção que as estrelas), o RA e o Dec de uma estrela não mudam durante a noite. No entanto, ao longo de décadas e séculos, os doordinados RA e Dec de uma estrela mudarão significativamente devido à precessão do eixo da Terra.

Questões

Em que latitude ou latitudes nenhuma das estrelas visíveis surge ou se põe? Em que latitude ou latitudes todas as estrelas visíveis surgem e se põem?

Qual é a altitude do pólo celeste norte para um observador na latitude L no hemisfério norte?

Uma estrela tem uma declinação de 40 & # 176 Em que latitude ou latitudes um observador pode ser localizado para ver a estrela a noite toda durante o ano?

Última modificação: 15 de janeiro de 2003, por Robert A. Knop Jr.

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Astronomia Esférica

ASTRONOMIA ESFÉRICA A esfera celestial. Ao examinar o universo a partir de um ponto fixo, podemos definir a posição de qualquer objeto especificando (I) sua direção e (2) sua distância. Devido à propriedade de propagação da luz em linhas retas, podemos observar imediatamente a direção de qualquer objeto visível, mas não podemos dizer a que distância ele está. Nosso conhecimento de distâncias astronômicas é derivado por métodos mais diretos e nunca atinge a precisão de nosso conhecimento de direções. Conseqüentemente, nosso estudo de posição começa com um estudo de direção apenas ou, podemos dizer, estudamos a localização dos corpos celestes, não no espaço, mas na esfera celestial. A esfera celeste, então, é uma esfera com o observador como centro, de raio que é arbitrário embora seja talvez conveniente escolhê-la muito grande e uma observação de direção fixa o objeto (ou projeta-o) em algum ponto desta esfera. . Por enquanto, podemos considerar as estrelas fixas como pontos fixos desta esfera (ignorando seus movimentos próprios muito lentos). Eles desempenham o papel de figuras em um mostrador de relógio, e observamos o sol, a lua e os planetas movendo-se sobre eles como os ponteiros do relógio. Principalmente o próprio observador real é o centro desta esfera, mas para combinar com observações em outros momentos e lugares, muitas vezes aplicamos correções de modo a dar as posições que teriam sido observadas do centro da terra ou do sol geocêntrico ou posições heliocêntricas. A correção necessária para reduzir a posição original à posição geocêntrica ou heliocêntrica é chamada de paralaxe. Quanto mais próximo o objeto, maior é a paralaxe, por exemplo, a lua tem uma paralaxe tão grande que se apontarmos um telescópio moderadamente poderoso para sua posição geocêntrica (a posição dada no Almanaque Náutico), ele provavelmente estará fora do campo de ver nós, por assim dizer, olhamos por cima dele.

A primeira coisa que notamos é que a esfera celestial que carrega as estrelas está girando - as estrelas nascem no leste e se põem no oeste.

(Claro que sabemos que é realmente nossa Terra que está girando, mas este não é o momento apropriado para arejar nosso conhecimento superior.) Podemos determinar o eixo de rotação porque o fim do eixo permanecerá parado. Uma estrela bem conhecida permanece quase parada - sempre a encontramos praticamente na mesma direção e altitude no céu. Isso deve estar muito próximo do final do eixo, e a estrela é chamada Polaris ou Estrela Polar. Por observação cuidadosa, fixamos o ponto ou pólo imutável com mais precisão entre as estrelas e descobrimos que Polaris está quase longe dele. Há um pólo oposto no outro hemisfério não marcado por nenhuma estrela brilhante, mas igualmente localizável, e a meio caminho entre eles corre um grande círculo chamado Equador da esfera celeste.

O observador também pode marcar na esfera celeste o zênite ou ponto que (momentaneamente) está verticalmente acima. Isso é dado pela direção da gravidade (incluindo a força centrífuga), ela é perpendicular a qualquer superfície de líquido não perturbada e, na prática, é geralmente determinada por um método que emprega a reflexão de um vale de mercúrio. Oposto ao zênite está o nadir, e o grande círculo no meio do caminho entre eles é o horizonte. Este horizonte celeste não está de acordo com o horizonte terrestre observado porque, se estivermos em uma colina, veremos mais do que metade da esfera celeste. Em observatórios fixos, geralmente medimos os ângulos do zênite, mas no mar o marinheiro mede as altitudes acima do horizonte do mar, e ele tem que subtrair uma correção chamada "mergulho do horizonte" para dar a altitude acima do horizonte celestial (altitude corrigida = Distância do zênite de 9o ).

Tempo Sideral.

Pode-se perguntar: Como a figura esférica da Terra afeta a exatidão dessa afirmação? A afirmação ainda é exata, porque a latitude mostrada nos mapas é definida por esta definição astronômica, mas a forma esferoidal tem o efeito de tornar um grau de latitude maior (em milhas) perto do pólo do que perto do equador.

Considere agora um

A Terra gira uma vez em 23h.56m'4-901S. do tempo comum (tempo solar médio). Mas embora o astrônomo forneça tempo solar médio para a conveniência do público em geral, ele tem para seu próprio uso outra contagem de tempo chamada tempo sideral e o período anterior é igual a 24 horas siderais. Assim, em 24 horas, pelo relógio sideral, a esfera celeste dá uma volta e volta à mesma posição. A conveniência de tal relógio ficará evidente quando percebermos que, se alguma vez vimos uma estrela em certa direção às 5 horas (sid.), Sempre a encontramos ali às 5 horas (sid.). O ângulo da hora (ou mesmo qualquer ângulo) pode ser expresso da maneira usual em graus, minutos, segundos, mas também pode ser expresso em unidades de tempo convertendo à taxa de 36o para o tempo.

Quando convertido em unidades de tempo desta forma, o ângulo da hora nos diz quanto tempo, pelo relógio sideral, a esfera celeste levará para girar através do ângulo QPZ e assim trazer Q para o meridiano. Se for agora 5 horas (sid.) E o ângulo da hora leste de Q for de 8 horas, Q cruzará o meridiano às 13 horas (sid.).

Explicamos como regular a taxa do relógio sideral, mas ainda não explicamos como configurá-lo. No tempo sideral, uma certa marca fixa do equador (fixa em relação às estrelas) deve estar cruzando o meridiano NZS. Chamamos essa marca de "o primeiro ponto de Áries" e a denotamos por P. Evidentemente, a qualquer momento o tempo sideral será igual ao ângulo horário medido em direção ao oeste. Todas as outras estrelas têm seu tempo fixo de passagem do meridiano pelo relógio sideral e esse tempo é chamado de ascensão reta da estrela. Isso dá a terceira, e mais usual, maneira de especificar posições na esfera celeste, viz., Ascensão Reta, o tempo pelo relógio sideral em que o ponto passa o meridiano, ou o ângulo TPQ medido em direção à Declinação leste, o complemento da distância polar norte, ou Neste sistema não é mais necessário referir-se ao tempo de observação, pois se o ponto estiver em uma posição constante em relação às estrelas a ascensão reta e a declinação permanecem constantes (sujeito a correções mencionado mais tarde).

Sol, Lua e Planetas.

O sol gira em torno da eclíptica em direção ao leste aumentando em declinação após a passagem e, portanto, nos dando (no hemisfério norte) os longos dias de verão. Depois de atingir uma declinação máxima de 23 2 , ele desce, passa pelo ponto oposto a 'lr' por volta de 2 de setembro e continua até uma declinação mínima de 23 . Tem que fazer um circuito completo em 3.651 dias e, portanto, tem que fazer uma média de quase 1 por dia. Assim, quando a esfera celeste deu uma volta completa, ainda falta mais 1 antes de o sol ser trazido de volta ao meridiano que leva mais 4 minutos, ou, para dar números precisos, o tempo sideral médio entre duas passagens sucessivas do sol sobre o meridiano é 2,0,3m'56,555s. Como nossos afazeres diários são mais ou menos regulados pelo sol, definimos isso igual a 24h do tempo normal (solar médio). Os relógios regulados por esta hora acompanham o ritmo do sol em média ao longo do ano, mas não exatamente de um dia para o outro (ver EQUAÇÃO DO TEMPO). O relógio sideral fornece um "dia" extra no ano em comparação com o relógio médio, portanto, há apenas um instante no ano em que os dois relógios coincidem. Por volta de 2 de março, o sol coincide com P, de modo que está no meridiano (meio-dia) quando ri 'está no meridiano, ou seja, na meia-noite no horário sideral, que é o início do dia civil (o' '). consequentemente, coincide com 12h. hora sideral por volta de 21 de março. Portanto, a hora em que os dois relógios concordam é no equinócio de outono por volta de 2 de setembro. Essas declarações, no entanto, precisam de uma ligeira correção por causa da equação do tempo, verdadeira meia-noite de 2 de setembro por volta das 13h15. tempo médio local.

A órbita da lua é inclinada em um pequeno ângulo de 5 g ', de modo que a posição da lua no céu está sempre a esta distância da eclíptica. Os planetas principais também têm pequenas inclinações, de modo que é possível definir uma zona de não muito mais do que Io de largura, dentro da qual o sol, a lua e os planetas sempre podem ser encontrados.

Esta zona é chamada de zodíaco, e seu curso entre as estrelas é marcado pelas 12 constelações bem conhecidas do zodíaco. Uma distância gular da eclíptica é chamada de latitude, e a distância ao redor da eclíptica medida a partir de P é chamada de longitude. As posições dos objetos são frequentemente fornecidas em longitude e latitude, em vez de ascensão reta e declinação. Deve-se notar, entretanto, que os nomes são um tanto enganosos, porque ascensões e declínios retos são os análogos adequados na esfera celestial para longitudes e latitudes na terra.

Fatores perturbadores.

(2) Aberração da luz (q.v.). Pode ser qualquer coisa até 20 5 ", mas a correção pode ser calculada sem qualquer incerteza. Ela surge porque, devido ao fato de que a velocidade da Terra em sua órbita não é insignificante em comparação com a velocidade da luz, o aparente A direção do raio de luz não é a verdadeira direção do objeto.

(3) Paralaxe. Para corpos pertencentes ao sistema solar, uma correção sensível é necessária para reduzir as observações feitas a partir da estação particular do observador na superfície da Terra a um padrão comum, a saber, uma estação imaginária no centro da Terra. Para algumas estrelas, uma correção análoga é necessária para reduzir as observações de um ponto particular na órbita da Terra para uma estação padrão que coincide com o sol, mas para a maior parte da paralaxe estelar é uma questão de observação específica, em vez de uma correção séria necessária para outros investigações.

(4) Precessão. Até agora tratamos o equador e 'Y' como marcas fixas na esfera das estrelas, mas na verdade eles estão se movendo continuamente - um fato que causa problemas sem fim ao astrônomo prático. Quando as posições observadas em momentos diferentes precisam ser comparadas ou combinadas, as correções devem ser aplicadas para a diferença entre os equadores e os equinócios em relação aos quais foram medidos. A parte estável dessa mudança é chamada de Precessão (Veja PRECESSÃO DOS EQUINÓXIOS).

(5) Nutation. Isso faz parte do mesmo fenômeno que a precessão - compreende a parte periódica ou oscilante do movimento.

Um ramo moderno da astronomia esférica se preocupa com a projeção da esfera celeste em uma placa fotográfica plana. O problema é equivalente a uma projeção central da esfera em um plano tangente a ela e fórmulas foram desenvolvidas para converter a posição medida na placa (em coordenadas retangulares planas) em ascensão reta e declinação na esfera celeste. As determinações fotográficas de posição são necessariamente diferenciais, ou seja, a fotografia deve incluir um número de "estrelas de referência" cujas ascensões e declinações retas já são conhecidas a partir dessas "constantes de placa" para a placa particular em discussão são determinadas e as constantes da placa são, por sua vez, usadas para deduzir ascensões e declínios retos de outros objetos na fotografia.


A esfera celestial

Vários sistemas diferentes de coordenadas existem na astronomia para descrever as posições dos vários objetos celestes. Cada sistema de coordenadas tem sua própria classe de situações nas quais é conveniente. Devemos tomar emprestado dos antigos gregos o conceito de esfera celestial no qual residem todos os corpos celestes. Esta esfera, centrada na Terra, é muito, muito grande em comparação com a Terra. Embora os astrônomos modernos saibam que os corpos celestes na verdade não estão em uma esfera celeste, o conceito ainda é útil para descrever as posições e movimentos desses objetos.

Figura 1: A esfera celeste com alguns pontos significativos marcados. A esfera pequena e central representa a Terra, enquanto a esfera grande representa a esfera celestial na qual todos os objetos celestes estão localizados.

Antes de introduzir os diferentes sistemas de coordenadas na astronomia, alguns dos termos comuns devem ser explicitamente declarados. Referindo-se à Figura 1, a extensão do plano equatorial da Terra para a esfera celestial é conhecida como o equador celestial, enquanto as extensões dos pólos determinam o pólo norte celestial (NCP) e o pólo sul celestial (SCP). O caminho aparente do sol ao longo do ano na esfera celeste é conhecido como o ecclíptico, traçando um círculo inclinado cerca de 23,5 & # 176 em relação ao equador celestial. Os dois pontos em que a eclíptica cruza o equador celestial são conhecidos como equinócios. O equinócio vernal (VE) is that point at which the sun is "ascending" into the northern celestial hemisphere, while the autumnal equinox (AE) corresponds to the point at which the sun is "descending" into the souther celestial hemisphere. O solistices, on the other hand, are those positions along the ecliptic which are furthest from the celestial equator. O summer solstice (SS) is the northern-most point on the ecliptic, while the winter solstice (WS) is the southern-most point. It is evident that this terminology is biased towards observers living in the northern hemisphere, since the seasons are opposite in the southern hemisphere than would be expected from the solistices and equinoxes. When the sun is at the summer solstice, the southern hemisphere is deep within the winter season while the northern hemisphere enjoys summer. Similarly, when the sun is at the vernal equinox, the soutern hemisphere is experiencing autumn.

Figure 2: The sky relative to an observer on Earth.

Now, concentrate on that portion of the sky visible to a given observer as illustrated in Figure 2. The point on the sky directly above the observer is known as the zenith (Z). O horizon is then defined as the circle of points on the celestial sphere at a 90° angle from the zenith with respect to the observer. Theoretically, the observer's visible sky is determined by his or her horizon. Thus, each observer should be able to see one half of hte celestial sphere at any given time during the night. However, trees, buildings, and other obstructions usually limit significantly the portion of the sky that can be seen. The familiar directions make up the north point (N), south point (S), east point (E), and west point (W) on the horizon. Then, the semi-circle NZS is known as the meridian. Furthermore, note that the angle between the celestial equator and Z with respect to the observer is known as the latitude of the observer.

Because of th eeastward rotation of the Earth, the celestial sphere exhibits an apparent westward rotation about an axis through NCP and SCP. The stars and other objects located on the celestial sphere appear to rise in the east and set in the wset as they cross an observer's horizon into and out of the visible sky. However, depending upon the latitude of the observer, there exist some stars that never set. Those stars with paths between NCP and N for northern hemisphere observers (between SCP and S for southern hemisphere observers) are visible all night throughout the year. Because these stars tend to be relatively close to the visible pole, they are known as circumpolar stars.

Figure 3: The alt-azimuth system.

One system for describing hte positions on the celestial sphere is the altitude-azimuth coordinate system, or alt-azimuth system. Consider a star at point P relative to an observer's horizon as illustrated in Figure 3. The relevant arc of the semi-circle connecting Z and P is also illustrated in the figure. The first coordinate in this system, the altitude, is the angular displacement above the horizon measured along this arc by an observer at O. The azimuth is the angular displacement of this arc from the north point N measured in the plane of the horizon. The altitude ranges from 0°at the horizon to 90° at the zenith, while the azimuth spans the entire scale 0° to 360° with N, E, S, and W at 0°, 90° 180°, and 270°, respectively. It is important to note that because the celestial objects are constantly moving across the sky, the altitude and azimuth of a given object continuously change throughout the night. Thus, the alt-azimuth system is not good for assigning stars permanent coordinates, rather it is beneficial in describing the position of an object relative to an observer's horizon at a particular time.

Figure 4: The equatorial system.

A second system, more widely used by astronomers than the first, is the equatorial coordinate system. It is analogous to the latitude-longitude scheme for the surface of Earth. Consider a star at point P and the semi-circle connecting the NCP, SCP, and P as illustrated in Figure 4. The declination (Dec) of the star is its angular displacement from the celestial equator measured along this semi-circle by an observer at O. The right ascension (RA) of the star is the angular displacment of this semi-circle from VE measured in an eastwardly direction within the plane of the celestial equator. The declination ranges from -90° to 90° with the SCP, celestial equator, and NCP at -90°, 0°, and 90°, respectively. The right ascension is measured in units of time rather than degrees, where the 360° is equivalent to 24 hours beginning with 0 hr at VE. Because the equatorial system uses as references the celestial equator and vernal equinox (which rotate on the celestial sphere at the same rate as the stars), the RA and Dec of a star do not change throughout the night. However, over the course of decades and centuries, the RA and Dec doordinates of a star will change significantly due to the precession of Earth's axis.

Questions

At what latitude or latitudes do none of the visible stars rise or set? At what latitude or latitudes do all of the visible stars rise and set?

What is the altitude of the north celestial pole for an observer at latitude L in the northern hemisphere?

A star has a declination of 40° At what latitude or latitudes can an observer be located to see the star all night throughout the year?

Last modified: 2003-January-15, by Robert A. Knop Jr.

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Planet Facts

The equatorial coordinate system is made up of two coordinates, the declination e a right ascension, also known as the hour angle. In astronomy, the declination is similar to the geographical latitude but is projected in the celestial sphere which, like Earth, has an equator too. It is said that the celestial sphere is an imaginary sphere that is concentric with the earth and rotates on the same axis.

The idea of the celestial sphere has proven to be a valuable tool in positional astronomy. This means that whatever objects lies in the celestial equator its coordinates will be 0, in the North Pole. The coordinates will be +90 degrees, and -90 degrees in the South.

Declination is also measured in degrees, arc-minutes, and arc-seconds. It measures the distance at which an object will rise in the sky. As can be observed from the Earth, a star is often in a constant position hence its declination is almost always the same. This only changes as a result of the effects of equinoxes or annual parallax. On the other hand, planets of the solar system have varying declination. An example would be the parent planet – the sun. The sun’s declination is the angle between its rays and the plane of the Earth’s equator and therefore, varies with the seasons.


Astronomical Surveying

The millions of stars that we see in the sky on a clear cloudless night are all at varying distances from us. Since we are concerned with their relative distance rather than their actual distance from the observer. It is exceedingly convenient to picture the stars as distributed over the surface of an imaginary spherical sky having its center at the position of the observer. This imaginary sphere on which the star appear to lie or to be studded is known as the celestial sphere. The radius of the celestial sphere may be of any value - from a few thousand metres to a few thousand kilometers. Since the stars are very distant from us, the center of the earth may be taken as the center of the celestial sphere.

Zenith, Nadir and Celestial Horizon.

The Zenith (Z) is the point on the upper portion of the celestial sphere marked by plumb line above the observer. It is thus the point on the celestial sphere immediately above the observer's station.

The Nadir (Z') is the point on the lower portion of the celestial sphere marked by the plum line below the observer. It is thus the point on the celestial sphere vertically below the observer's station. Celestial Horizon. (True or Rational horizon or geocentric horizon): It is the great circle traced upon the celestial sphere by that plane which is perpendicular to the Zenith-Nadir line, and which passes through the center of the earth. (Great circle is a section of a sphere when the cutting plane passes through the center of the sphere).

Terrestrial Poles and Equator, Celestial Poles and Equator.

The terrestrial poles are the two points in which the earth's axis of rotation meets the earth's sphere. The terrestrial equator is the great circle of the ear th, the plane of which is

at right angles to the axis of rotation. The two poles are equidistant from it.

If the earth's axis of rotation is produced indefinitely, it will meet the celestial sphere in two points called the north and south celestial poles ( P and P'). The celestial equator is the

great circle of the celestial sphere in which it is intersected by the plane of terrestrial equator.

1 CO-ALTITUDE OR ZENITH DISTANCE (Z) AND AZIMUTH (A).

It is the angular distance of heavenly body from the zenith. It is the complement

or the altitude, i.e z = (90 o - ?).

The azimuth of a heavenly body is the angle between the observer's meridian and the vertical circle passing through the body.

Determine the hour angle and declination of a star from the following data:

(i) Altitude of the star = 22 o 36'

(ii) Azimuth of the star = 42 o W

(iii) Latitude of the place of observation = 40 o N.

Since the azimuth of the star is 42 o W, the star is in the western hemi-sphere.

In the astronomical D PZM, we have

PZ = co-latitude = 90 o - 40 o = 50 o

ZM = co-altitude = 90 o - 22 o 36 o = 67 24' angle A = 42 o

Knowing the two sides and the included angle, the third side can be calculated from

Thus, cos PM = cos PZ . cos ZM + sin PZ. Sin ZM. cos A

= cos 50 o . c os 67 o 24' + sin 50 o . sin 67 o 24 ' . cos 42 o

Declination of the star = d = 90 o - PM = 90 o - 3 9 o 25' = 50 o 35' N.

Similarly, knowing all the three sides, the hour angle H can be calculated from Eq.


Gary's Nautical Information

10.A celestial body will cross the prime vertical circle when ? the latitude is numerically greater than the declination and both are of the same name.

11.The azimuth angle of an amplitude is measured from the ? prime vertical

12.The great circle of the celestial sphere that passes through the zenith, nadir, and the eastern point of the horizon is the ?prime vertical

13.The great circle on the celestial sphere that passes through the zenith and the north and south poles isthe ? principal vertical

14.The prime vertical is the great circle on the celestial sphere that passes through the ? zenith, nadir and the east point of the horizon

15.The prime vertical is the reference point from which the angle of what type of observation is measured ? Amplitude

16.The principal vertical circle is that great circle on the celestial sphere that passes through the ? zenith and the north and south poles

17.The Sun's center is coincident with the principal vertical circle when ? in lower transit

18.The Sun's center may be coincident with both the celestial equator and the observer's prime vertical circle when ? its declination is zero

19.If an observer is at 35° N latitude, his zenith is ? 35° N of the celestial equator

20.The point on the celestial sphere that is directly over the observer is the ? zenith


Trouble visualizing and understanding the celestial sphere

So it's been a while since I've done this and uh I also haven't slept well over the past few days so literally nothing is clicking. I have so many questions about this celestial sphere business. Please bear with me. It also doesn't help that our notes have like 5 different diagrams of the same thing.

So the celestial sphere is infinite, it stretches out around the Earth.
The zenith and Nadir tilt depending on the person's location, right? If you're right in the middle of the equatorial plane, would your zenith align with the celestial poles (which align with the earth's poles apparently)?

What if you're not a the center of the plane, then what happens? Does the sphere shift? I don't understand.
Or does it stay expanded along earth's poles and equator but now you have to account for the tilt of the zenith/nadir when describing the location of the stars? I dont get this at all - some images have the poles of the earth and poles of the celestial sphere aligned and some don't . I don't know how else to explain what I'm having trouble with,I'm sorry.

Basically, the celestial sphere is the extension of Earth, however the part of the celestial sphere that the observer sees changes because of their horizon at their latitude and their zenith? or no ? All of those have the observer at the center again - my professor said that the zenith and nadir go through the center of the earth and through the person so ?